Podłoga i sufit


Podłoga i sufit w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Podłoga i sufit (ang. floor and ceiling) – funkcje zaokrąglające liczby rzeczywiste do liczb całkowitych odpowiednio w dół i w górę.

Spis treści

Definicja formalna | edytuj kod

Podłoga, część całkowita, cecha lub entier liczby rzeczywistej x , {\displaystyle x,} oznaczana x , {\displaystyle \lfloor x\rfloor ,} x , {\displaystyle [x],} E ( x ) {\displaystyle {\mbox{E}}(x)} lub Ent ( x ) {\displaystyle {\mbox{Ent}}(x)} to największa liczba całkowita nie większa od x . {\displaystyle x.} Symbolicznie:

x = max { k Z : k x } {\displaystyle \lfloor x\rfloor =\max\{k\in \mathbb {Z} \colon k\leqslant x\}}

Natomiast sufit lub cecha górna liczby rzeczywistej x {\displaystyle x} to najmniejsza liczba całkowita nie mniejsza od x . {\displaystyle x.} Liczbę tę oznaczamy symbolem x . {\displaystyle \lceil x\rceil .} Symbolicznie:

x = min { k Z : k x } {\displaystyle \lceil x\rceil =\min\{k\in \mathbb {Z} \colon k\geqslant x\}}

Częścią ułamkową bądź mantysą liczby rzeczywistej x {\displaystyle x} nazywa się liczbę x x . {\displaystyle x-\lfloor x\rfloor .} Oznacza się ją { x } {\displaystyle \{x\}}

{ x } = x x {\displaystyle \{x\}=x-\lfloor x\rfloor }

Przykłady | edytuj kod

2 , 9 = 2 , 2 = 2 , 2 , 1 = 3. {\displaystyle \lfloor 2{,}9\rfloor =2,\quad \lfloor -2\rfloor =-2,\quad \lfloor -2{,}1\rfloor =-3.} 0 = 0 , 0 , 3 = 1 , 0 , 8 = 0 , 3 , 4 = 3. {\displaystyle \lceil 0\rceil =0,\quad \lceil 0{,}3\rceil =1,\quad \lceil -0{,}8\rceil =0,\quad \lceil -3{,}4\rceil =-3.} { 2,567 } = 0,567 , { 4 , 23 } = 4 , 23 ( 5 ) = 0 , 77. {\displaystyle \{2{,}567\}=0{,}567,\quad \{-4{,}23\}=-4{,}23-(-5)=0{,}77.}

Nazwy | edytuj kod

Pierwotnie używano terminów: część całkowita oraz część ułamkowa, których nazwa odpowiada intuicyjnemu rozumieniu tych pojęć dla nieujemnych liczb rzeczywistych. Obie te nazwy przeczą jednak intuicji dla liczb ujemnych i wprowadzają przez to pewne zamieszanie. Mimo wszystko są one nadal używane w matematyce. Z kolei nazwa entier pochodzi od francuskiego słowa oznaczającego „całość” i bywa często używana w analizie w kontekście funkcji. Terminy cecha i mantysa używane są przede wszystkim podczas opisu własności logarytmów. Pojęcia te oznaczane są tradycyjnie symbolami [·], Ent , E {\displaystyle {\mbox{Ent}},{\mbox{E}}} dla cechy i {·} dla mantysy.

Nazwy stosowane w tym artykule zostały wprowadzone przez Donalda Knutha[potrzebny przypis], który zaproponował oznaczenie {\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor } dla części całkowitej, którą nazwał podłogą, w opozycji do sufitu oznaczanego . {\displaystyle \lceil \cdot \rceil .} Pojęcia te są dosłownymi tłumaczeniami nazw angielskich, odpowiednio: floor (podłoga) oraz ceiling (sufit).

Własności | edytuj kod

Podłoga i sufit | edytuj kod

Wykres funkcji podłoga Wykres funkcji sufit

Podłoga i sufit spełniają następujące nierówności:

x x < x + 1 {\displaystyle \lfloor x\rfloor \leqslant x<\lfloor x\rfloor +1} x 1 < x x {\displaystyle \lceil x\rceil -1<x\leqslant \lceil x\rceil }

Ponadto

x x x {\displaystyle \lfloor x\rfloor \leqslant x\leqslant \lceil x\rceil }

przy czym równość zachodzi wyłącznie dla całkowitych x. W pozostałych przypadkach obie nierówności są ostre i mamy:

x = x + 1 {\displaystyle \lceil x\rceil =\lfloor x\rfloor +1}

Przyporządkowując każdej liczbie rzeczywistej jej podłogę lub sufit otrzymujemy funkcje ze zbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb całkowitych.

Funkcje podłoga i sufit są niemalejące:

x y x y , {\displaystyle x\leqslant y\implies \lfloor x\rfloor \leqslant \lfloor y\rfloor ,} x y x y . {\displaystyle x\leqslant y\implies \lceil x\rceil \leqslant \lceil y\rceil .}

Ponadto:

  • x + y x + y , {\displaystyle \lfloor x+y\rfloor \geqslant \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor ,}
  • k + x = k + x {\displaystyle \lfloor k+x\rfloor =k+\lfloor x\rfloor } dla dowolnego k Z . {\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}

Część ułamkowa | edytuj kod

Część ułamkowa należy zawsze do przedziału 0 ; 1 ) , {\displaystyle [0;1),} tzn.

0 { x } < 1 {\displaystyle 0\leqslant \{x\}<1}

dla dowolnej liczby rzeczywistej x {\displaystyle x}

Wykres mantysy

Czasami część ułamkową liczby zapisuje się jako x mod 1 , {\displaystyle x{\mbox{mod}}1,} gdzie mod {\displaystyle {\mbox{mod}}} jest resztą z dzielenia uogólnioną na liczby rzeczywiste.

Część ułamkowa jest funkcją okresową o okresie zasadniczym t 0 = 1. {\displaystyle t_{0}=1.}

Jeżeli liczba a jest niewymierna, wtedy liczby postaci {k·a}, dla k przebiegającego zbiór liczb naturalnych, równomiernie pokrywają przedział otwarty (0,1). Formalnie stwierdzenie to można zapisać jako:

lim n 1 n k = 1 n f ( { k a } ) = 0 1 f ( t ) d t {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}f(\{ka\})=\int \limits _{0}^{1}f(t)\,dt}

o ile funkcja f {\displaystyle f} jest funkcją ograniczoną i prawie wszędzie ciągłą.

Fakt ten został odkryty i udowodniony niezależnie przez P. Bohla, Wacława Sierpińskiego i Hermanna Weyla około roku 1909.

Cecha i mantysa logarytmu | edytuj kod

Cechę logarytmu liczby dodatniej można odczytać z jej zapisu pozycyjnego o tej samej podstawie co logarytm. Przykładowo cechę logarytmu dziesiętnego odczytujemy z zapisu w systemie dziesiętnym. Sposób odczytu jest następujący:

  • Cecha logarytmu liczby rzeczywistej większej od 1 jest o 1 mniejsza od liczby cyfr jej części całkowitej.
  • Cecha logarytmu liczby dodatniej mniejszej od 1 jest ujemna i równa minus liczba wszystkich zer przed pierwszą cyfrą znaczącą tej liczby. W takiej sytuacji zapisuje się ją zwykle z nadkreśleniem zamiast znaku „–” (pozwala to odróżnić ją od następującej po niej mantysy zapisywanej jako liczba dodatnia).

Mantysa logarytmu to pozostała z niego część po odjęciu cechy. Jest to zawsze liczba z przedziału 0 , 1 ) . {\displaystyle [0,1).}

Przykłady | edytuj kod

Mantysa logarytmów liczb postaci 10 n {\displaystyle 10^{n}} (gdzie n {\displaystyle n} jest całkowite) wynosi 0 , {\displaystyle 0,} np.:

lg 0 , 000001 = 6 ¯ , 000 000 lg 0 , 00001 = 5 ¯ , 000 000 lg 0 , 0001 = 4 ¯ , 000 000 lg 0 , 001 = 3 ¯ , 000 000 lg 0 , 01 = 2 ¯ , 000 000 lg 0 , 1 = 1 ¯ , 000 000 lg 1 = 0 , 000 000 lg 10 = 1 , 000 000 lg 100 = 2 , 000 000 lg 1 000 = 3 , 000 000 lg 10 000 = 4 , 000 000 lg 100 000 = 5 , 000 000 lg 1 000 000 = 6 , 000 000 {\displaystyle {\begin{array}{rcl}\lg 0,000001&=&{\overline {6}},000\;000\\\lg 0,00001&=&{\overline {5}},000\;000\\\lg 0,0001&=&{\overline {4}},000\;000\\\lg 0,001&=&{\overline {3}},000\;000\\\lg 0,01&=&{\overline {2}},000\;000\\\lg 0,1&=&{\overline {1}},000\;000\\\lg 1&=&0,000\;000\\\lg 10&=&1,000\;000\\\lg 100&=&2,000\;000\\\lg 1\;000&=&3,000\;000\\\lg 10\;000&=&4,000\;000\\\lg 100\;000&=&5,000\;000\\\lg 1\;000\;000&=&6,000\;000\\\end{array}}}

Wszystkie liczby różniące się tylko położeniem przecinka dziesiętnego lub liczbą zer na początku lub końcu liczb, mają logarytm z jednakową mantysą, np.:

lg 0 , 004028 = 3 ¯ , 605089 lg 0 , 04028 = 2 ¯ , 605089 lg 0 , 4028 = 1 ¯ , 605089 lg 4 , 028 = 0 , 605089 lg 40 , 28 = 1 , 605089 lg 4 028 = 3 , 605089 lg 4 028 000 = 6 , 605089 {\displaystyle {\begin{array}{rcl}\lg 0,004028&=&{\overline {3}},605089\dots \\\lg 0,04028&=&{\overline {2}},605089\dots \\\lg 0,4028&=&{\overline {1}},605089\dots \\\lg 4,028&=&0,605089\dots \\\lg 40,28&=&1,605089\dots \\\lg 4\;028&=&3,605089\dots \\\lg 4\;028\;000&=&6,605089\dots \\\end{array}}}
Na podstawie artykułu: "Podłoga i sufit" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy