Prawo Biota-Savarta


Prawo Biota-Savarta w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Prawo Biota-Savartaprawo stosowane w elektromagnetyzmie i dynamice płynów. Pozwala określić w dowolnym punkcie przestrzeni indukcję pola magnetycznego, której źródłem jest element przewodnika, przez który płynie prąd elektryczny. Oryginalna wersja została sformułowana dla pola magnetycznego.

Spis treści

W elektromagnetyzmie | edytuj kod

Wyprowadzenie | edytuj kod

Prawo Biota-Savarta dla pola magnetycznego można wyprowadzić z równań Maxwella lub z prawa Gaussa dla elektryczności i równań transformacji relatywistycznej pól elektrycznych i magnetycznych w szczególnej teorii względności[1][2]:

E r = 1 4 π ε 0 q r 2 r ^ {\displaystyle {\vec {E_{r}}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q}{r^{2}}}{\hat {r}}} B = v c 2 × E {\displaystyle {\vec {B}}={\frac {\vec {v}}{c^{2}}}\times {\vec {E}}} 1 c 2 = ε 0 μ 0 {\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}=\varepsilon _{0}\mu _{0}}

Połączenie powyższych wzorów określa pole magnetyczne wytwarzane przez poruszający się ładunek punktowy, co odpowiada polu wytwarzanemu przez prąd płynący w nieskończenie cienkim i krótkim przewodniku:

d B = μ o 4 π   q   v × r ^ r 2 , {\displaystyle d{\vec {B}}={\frac {\mu _{o}}{4\pi }}\ q\ {\frac {{\vec {v}}\times {\hat {r}}}{r^{2}}},} d B = μ o 4 π   I   d l × r ^ r 2 , {\displaystyle d{\vec {B}}={\frac {\mu _{o}}{4\pi }}\ I\ {\frac {d{\vec {l}}\times {\hat {r}}}{r^{2}}},}

gdzie:

q – punktowy ładunek elektryczny, v – prędkość ładunku q.

Przyczynek d B {\displaystyle d{\vec {B}}} do pola indukcji magnetycznej w danym punkcie A od elementu długości d l {\displaystyle {d{\vec {l}}}} przewodnika z prądem o natężeniu I . {\displaystyle I.}

Sposób wyznaczania kierunku i zwrotu indukcji magnetycznej d B = K m I d l × r ^ r 2 , {\displaystyle d{\vec {B}}=K_{m}{\frac {Id{\vec {l}}\times {\hat {r}}}{r^{2}}},}

gdzie

K m = μ 0 μ r 4 π {\displaystyle K_{m}={\frac {\mu _{0}\mu _{r}}{4\pi }}} (zob. Przenikalność magnetyczna), I {\displaystyle I} – natężenie prądu, wyrażone w amperach, d l {\displaystyle d{\vec {l}}} – skierowany element przewodnika; wektor o kierunku przewodnika, zwrocie odpowiadającym kierunkowi prądu i długości równej długości elementu przewodnika, r ^ {\displaystyle {\hat {r}}} wersor dla punktów wytwarzającego pole (elementu przewodnika) i miejsca pola, r {\displaystyle r} – odległość elementu przewodnika od punktu pola.

Inna postać wzoru:

d B = μ 0 I 4 π d l × r | r | 3 , {\displaystyle d{\vec {B}}={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}{\frac {d{\vec {l}}\times {\vec {r}}}{|{\vec {r}}|^{3}}},}

gdzie r {\displaystyle {\vec {r}}} to wektor wodzący o początku w źródle pola i końcu w rozważanym punkcie przestrzeni. Wartość indukcji magnetycznej może być obliczona ze wzoru

d B = μ 0 I 4 π d l sin α r 2 . {\displaystyle dB={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}{\frac {dl\sin \alpha }{r^{2}}}.}

Przewodnik prostoliniowy | edytuj kod

Niech przez prostoliniowy przewodnik o nieskończonej długości płynie prąd o natężeniu I. Zapiszmy skalarną postać przyczynku do pola indukcji magnetycznej:

d B = μ 0 I 4 π d l sin α r 2 . {\displaystyle dB={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}{\frac {dl\sin \alpha }{r^{2}}}.}

Ze wzoru tego można wyprowadzić prawo Grassmanna.

Nieskończony przewód można myślowo podzielić na dwa fragmenty. Górna „połowa” od wycinka dl przewodu do nieskończoności oraz dolna „połowa” w zakresie od minus nieskończoności do 0. Bez dowodu przyjmujemy, że obie „połowy” są sobie równe.

Aby otrzymać wartość indukcji magnetycznej B w odległości r od przewodnika o natężeniu I całkujemy skalarny przyczynek do indukcji magnetycznej.

B = 2 0 d B = μ 0 I 2 π 0 s i n α d l r 2 {\displaystyle B=2\int \limits _{0}^{\infty }dB={\frac {\mu _{0}I}{2\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {sin\alpha \cdot dl}{r^{2}}}}

α , {\displaystyle \alpha ,} l , {\displaystyle l,} r {\displaystyle r} nie są niezależne, w związku z czym do obliczenia powyższej całki należy poszukać zależności, które je łączą.

Studiując ilustrację zawartą w artykule, można wprowadzając zmienną R będącą najkrótszą odległością do przewodu wypisać następujące związki:

r = l 2 + R 2 , {\displaystyle r={\sqrt {l^{2}+R^{2}}},} s i n α = R l 2 + R 2 . {\displaystyle sin\alpha ={\frac {R}{\sqrt {l^{2}+R^{2}}}}.}

Podstawiając powyższe zależności do całki otrzymujemy ostateczną postać wzoru na indukcję magnetyczną:

μ 0 I 2 π 0 R d l ( l 2 + R 2 ) 1 , 5 = μ 0 I 2 π R . {\displaystyle {\frac {\mu _{0}I}{2\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {Rdl}{(l^{2}+R^{2})^{1,5}}}={\frac {\mu _{0}I}{2\pi R}}.}

Wzór ten jest słuszny w małej odległości od przewodnika lub w dowolnej odległości dla nieskończenie długiego przewodnika.

Przewodnik kołowy | edytuj kod

W przypadku przewodnika o innej geometrii indukcję pola magnetycznego w dowolnym punkcie przestrzeni można otrzymać całkując wzór Biota-Savarta po całej długości przewodnika. Na przykład w środku przewodnika kołowego o promieniu R w próżni indukcję określa wzór:

B = μ 0 I 2 R . {\displaystyle B={\frac {\mu _{0}I}{2R}}.}

Rozciągły obszar z prądem | edytuj kod

Wyżej przytoczony wzór jest prawdziwy dla cienkich przewodników z prądem, dla obszarów w których płynie prąd w dużych objętościach wzór przyjmuje postać:

d B = K m j × r ^ r 2 d V , {\displaystyle d{\vec {B}}=K_{m}{\frac {{\vec {j}}\times \mathbf {\hat {r}} }{r^{2}}}dV,}

gdzie:

j {\displaystyle {\vec {j}}} gęstość prądu, d V {\displaystyle dV} – element objętości.

Poruszający się ładunek | edytuj kod

d B = K m d q v × r ^ r 2 , {\displaystyle d{\vec {B}}=K_{m}{\frac {dq{\vec {v}}\times {\hat {r}}}{r^{2}}},}

gdzie:

dqładunek elektryczny, v {\displaystyle {\vec {v}}} – prędkość ładunku.

Pole w danym punkcie | edytuj kod

Całkowitą indukcję magnetyczną wyznacza się, całkując różniczkowe elementy indukcji d B {\displaystyle d{\vec {B}}} wzdłuż całego przewodnika – w pierwszym wzorze, a w całym obszarze, w którym płynie prąd, w drugim wzorze.

B = d B . {\displaystyle {\vec {B}}=\int d{\vec {B}}.}

Wnioski | edytuj kod

Wzór Biota-Savarta umożliwia obliczenie indukcji magnetycznej, gdy znane jest natężenie prądu, który jest źródłem pola magnetycznego (punkty tego pola są scharakteryzowane przez wektor indukcji, a wartość tego wektora określa wzór Biota-Savarta).

Wszystkie przyczynki do wektora indukcji pochodzące od elementów przewodnika mają w danym punkcie taki sam kierunek, który jest prostopadły do płaszczyzny, w której leży przewodnik i analizowany punkt. Dlatego linie pola magnetycznego mają kształt okręgów leżących w płaszczyźnie prostopadłej do przewodnika, środkami których jest przewodnik.

W mechanice płynów | edytuj kod

Prawo Biota-Savarta ma swój odpowiednik mechanice płynów i określa przyczynek do prędkości płynu wytwarzanej (indukowanej) przez element strugi wirowej. Analogia obejmuje związki:

  • przewodnik elektryczny – struga wirowa
  • natężenie prądu – cyrkulacja strugi
  • wytwarzane pole magnetyczne – uzyskiwana prędkość płynu

Prawo można sformułować w postaci:

Prędkość indukowana dv w wybranym punkcie A płynu przez element strugi wirowej o długości dl określa wzór:

d v = Γ r ^ × d l 4 π r 2 , {\displaystyle d\mathbf {v} ={\frac {\Gamma \mathbf {\hat {r}} \times d\mathbf {l} }{4\pi r^{2}}},}

gdzie:

Γ {\displaystyle \Gamma } cyrkulacja strugi.

Na podstawie tego wzoru można obliczyć, jak wir wpływa na rozkład prędkości wokół niego. Przykładowo, długa prostoliniowa struga wytwarza (zmienia) prędkość płynu:

v = Γ 2 π r . {\displaystyle v={\frac {\Gamma }{2\pi r}}.}

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. Pole magnetyczne. [dostęp 2016-06-10].
  2. Jak wyprowadzić magnetyzm z prawem Biota-Savarta z prawa Coulomba i relatywistyki? (z inżynierskim podejściem do transformacji relatywistycznych). [dostęp 2017-06-13].
Na podstawie artykułu: "Prawo Biota-Savarta" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy