Prawo wielkich liczb


Prawo wielkich liczb w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Prawa wielkich liczb – seria twierdzeń matematycznych (jedno z tzw. twierdzeń granicznych) opisujących związek między liczbą wykonywanych doświadczeń a faktycznym prawdopodobieństwem wystąpienia zdarzenia, którego te doświadczenia dotyczą. Najprostsza i historycznie najwcześniejsza postać prawa wielkich liczb to prawo Bernoulliego sformułowane przez szwajcarskiego matematyka Jakoba Bernoulliego w książce Ars Conjectandi (1713). Prawo Bernoulliego orzeka, że:

„Z prawdopodobieństwem dowolnie bliskim 1 można się spodziewać, iż przy dostatecznie wielkiej liczbie prób częstość danego zdarzenia losowego będzie się dowolnie mało różniła od jego prawdopodobieństwa.”[1]

Bernoulli nazwał je „złotym twierdzeniem”, ale matematycy przyjęli dla niego nazwę „twierdzenie Bernoulliego”. Dopiero w 1835 francuski naukowiec Siméon Denis Poisson opisał je pod nazwą „prawo wielkich liczb”. Obecnie znane jest pod nazwami „twierdzenie Bernoulliego” i „prawo wielkich liczb”, jednak ta druga nazwa jest częściej stosowana.

Spis treści

Prawa wielkich liczb | edytuj kod

Prawo wielkich liczb Bernoulliego | edytuj kod

Jeśli S n {\displaystyle S_{n}} oznacza liczbę sukcesów w schemacie Bernoulliego n {\displaystyle n} prób z prawdopodobieństwem sukcesu w pojedynczej próbie równym p , {\displaystyle p,} to dla każdego ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0}

lim n P ( | S n n p | ε ) = 1. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\mathsf {P}}\left(\left|{\frac {S_{n}}{n}}-p\right|\leqslant \varepsilon \right)=1.}

Słownie: niezależnie od wyboru szerokości przedziału wokół wartości oczekiwanej, prawdopodobieństwo dla dużych n {\displaystyle n} będzie dowolnie bliskie 1. {\displaystyle 1.}

Dowód słabego prawa wielkich liczb opiera się na nierówności Czebyszewa.

Mocne prawo wielkich liczb Bernoulliego mówi, że ciąg S n n {\displaystyle {\tfrac {S_{n}}{n}}} dąży do p {\displaystyle p} prawie na pewno. Dowód tego faktu wykorzystuje nierówność Bernsteina.

Mocne prawo wielkich liczb | edytuj kod

Dla ciągów (całkowalnych) zmiennych losowych wprowadza się definicję spełniania przez nich tzw. mocnego (i słabego) prawa wielkich liczb.

Ciąg zmiennych losowych ( X n ) n = 1 {\displaystyle (X_{n})_{n=1}^{\infty }} spełnia mocne prawo wielkich liczb (MPWL), gdy

1 n k = 1 n ( X k E X k ) p . n . 0. {\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}(X_{k}-{\mathsf {E}}X_{k}){\xrightarrow {p.n.}}0.}

Mocne prawo wielkich liczb Kołmogorowa | edytuj kod

Jeżeli ( X n ) n = 1 {\displaystyle (X_{n})_{n=1}^{\infty }} jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych całkowalnych z kwadratem oraz n = 1 V a r X n n 2 < , {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\mathsf {Var}}X_{n}}{n^{2}}}<\infty ,} to ciąg ( X n ) n = 1 {\displaystyle (X_{n})_{n=1}^{\infty }} spełnia MPWL.

Wynika z niego następujący wniosek: jeżeli ( X n ) n = 1 {\displaystyle (X_{n})_{n=1}^{\infty }} jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie oraz E | X 1 | < , {\displaystyle {\mathsf {E}}|X_{1}|<\infty ,} to

1 n k = 1 n X k p . n . E X 1 {\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}X_{k}{\xrightarrow {p.n.}}{\mathsf {E}}X_{1}}

prawie na pewno.

Twierdzenie Kołmogorowa | edytuj kod

W ogólności, jeśli ( a n ) n N {\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }} jest rosnącym do nieskończoności ciągiem liczb dodatnich, a ponadto zbieżny jest szereg

n = 1 V a r X n a n 2 , {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\mathsf {Var}}X_{n}}{a_{n}^{2}}},}

to

lim n 1 a n k = 1 n ( X k E X k ) = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{a_{n}}}\sum _{k=1}^{n}(X_{k}-{\mathsf {E}}X_{k})=0}

prawie na pewno.

Dowód twierdzenia opiera się na znanych z analizy lematach Toeplitza oraz Kroneckera, a także następującym fakcie z rachunku prawdopodobieństwa: jeśli ( X n ) n = 1 {\displaystyle (X_{n})_{n=1}^{\infty }} jest ciągiem całkowalnych niezależnych zmiennych losowych całkowalnych z kwadratem oraz szereg

n = 1 V a r X n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\mathsf {Var}}X_{n}}

jest zbieżny, to szereg

n = 1 ( X n E X n ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(X_{n}-{\mathsf {E}}X_{n})}

jest zbieżny prawie na pewno.

Słabe prawo wielkich liczb | edytuj kod

Mówimy, że ciąg zmiennych losowych ( X n ) n = 1 {\displaystyle (X_{n})_{n=1}^{\infty }} spełnia słabe prawo wielkich liczb (SPWL), gdy

lim n 1 n k = 1 n ( X k E X k ) = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}(X_{k}-{\mathsf {E}}X_{k})=0}

ze względu na prawdopodobieństwo.

Słabe prawo wielkich liczb dla parami niezależnych zmiennych o skończonej wariancji | edytuj kod

Jeżeli ( X n ) n = 1 {\displaystyle (X_{n})_{n=1}^{\infty }} jest ciągiem parami niezależnych zmiennych losowych całkowalnych z kwadratami oraz

lim n 1 n 2 k = 1 n V a r X k = 0 , {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}{\mathsf {Var}}X_{k}=0,}

to ciąg ( X n ) n = 1 {\displaystyle (X_{n})_{n=1}^{\infty }} spełnia SPWL. Dowód tego faktu również opiera się na nierówności Czebyszewa.

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. Zwiększając liczbę doświadczeń opartych na zdarzeniach losowych, możemy oczekiwać rozkładu wyników coraz lepiej odpowiadającego rozkładowi prawdopodobieństw zdarzeń (na przykład, przeprowadzając wielką liczbę rzutów symetryczną monetą, możemy oczekiwać że stosunek liczby „wyrzuconych” orłów do liczby wszystkich rzutów będzie bliski 0,5 (wartości prawdopodobieństwa); tym większe są na to szanse im większa jest liczba rzutów).
Kontrola autorytatywna (twierdzenie):
Na podstawie artykułu: "Prawo wielkich liczb" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy