Proces stacjonarny


Proces stacjonarny w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Dwie symulacje procesów, jeden (górny) stacjonarny, drugi niestacjonarny.

Proces stacjonarnyproces stochastyczny, w którym wszystkie momenty oraz momenty łączne są stałe.

Gdy wartość średnia, wariancja oraz funkcja autokorelacji zmieniają się wraz ze zmianą czasu, proces losowy x ( t ) {\displaystyle x(t)} nazywa się niestacjonarnym. W szczególnym przypadku, gdy wartość średnia oraz funkcja autokorelacji nie zależą od czasu t 1 , {\displaystyle t_{1},} proces losowy x ( t ) {\displaystyle x(t)} nazywa się słabo stacjonarny lub stacjonarny w szerszym zakresie. Średnia wartość słabo stacjonarnych procesów jest stała, a funkcja autokorelacji zależy tylko od przesunięcia τ . {\displaystyle \tau .}

W matematyce proces stacjonarny (lub proces ściśle stacjonarny) – proces stochastyczny, dla którego rozkłady gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej X {\displaystyle X} nie zmieniają się wraz z przesunięciem w czasie lub przestrzeni. W efekcie, parametry takie jak średnia i wariancja także nie ulegają zmianie wraz z przesunięciem w czasie lub przestrzeni.

Przykładem procesu stacjonarnego jest proces szumu białego. Procesem niestacjonarnym jest zaś proces jednokrotnego uderzenia w talerze perkusyjne, gdzie moc akustyczną kolizji zmniejsza się wraz z upływem czasu.

Dyskretny w czasie proces stacjonarny, gdzie przestrzeń zdarzeń jest także dyskretna (zmienna losowa może przyjmować jedną z N {\displaystyle N} możliwych wartości) jest znany jako schemat Bernoulliego. Jeśli N = 2 , {\displaystyle N=2,} proces jest nazywany procesem Bernoulliego.

Słaba stacjonarność (stacjonarność w szerszym sensie) | edytuj kod

O słabszej formie stacjonarności często mówi się w przypadku problemów związanych z przetwarzaniem sygnałów. Słaba stacjonarność jest także znana jako stacjonarność w szerszym sensie lub stacjonarność rzędu dwa. Warunkiem stacjonarności w szerszym sensie procesu losowego jest tylko to, aby pierwszy i drugi moment nie zmieniał się w czasie.

Ciągły w czasie proces losowy x ( t ) , {\displaystyle x(t),} który jest stacjonarny w szerszym sensie ma nałożone następujące ograniczenia na jego wartość średnią:

1. E { x ( t ) } = m x ( t ) = m x ( t + τ ) τ R {\displaystyle \mathbb {E} \{x(t)\}=m_{x}(t)=m_{x}(t+\tau )\,\,\forall \,\tau \in \mathbb {R} }

i funkcję korelacji:

2. E { x ( t 1 ) x ( t 2 ) } = R x ( t 1 , t 2 ) = R x ( t 1 + τ , t 2 + τ ) = R x ( t 1 t 2 , 0 ) τ R {\displaystyle \mathbb {E} \{x(t_{1})x(t_{2})\}=R_{x}(t_{1},t_{2})=R_{x}(t_{1}+\tau ,t_{2}+\tau )=R_{x}(t_{1}-t_{2},0)\,\,\forall \,\tau \in \mathbb {R} }

Pierwsza własność implikuje stałość wartości średniej m x ( t ) . {\displaystyle m_{x}(t).} Druga własność implikuje zależność wartości funkcji korelacji wyłącznie od różnicy pomiędzy t 1 {\displaystyle t_{1}} i t 2 {\displaystyle t_{2}} i jest funkcją tylko jednej zmiennej (przesunięcia). Czasami zamiast zapisu:

R x ( t 1 t 2 , 0 ) {\displaystyle R_{x}(t_{1}-t_{2},0)}

upraszcza się notację i zapisuje następująco:

R x ( τ ) , {\displaystyle R_{x}(\tau ),} gdzie τ = t 1 t 2 . {\displaystyle \tau =t_{1}-t_{2}.}
Na podstawie artykułu: "Proces stacjonarny" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy