Przyspieszenie


Przyspieszenie w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Przyspieszeniewektorowa wielkość fizyczna wyrażająca zmianę wektora prędkości w czasie[1].

Przyspieszenie definiuje się jako pochodną prędkości po czasie, czyli jest szybkością zmiany prędkości[2]. Jeśli przyspieszenie jest skierowane przeciwnie do zwrotu prędkości ruchu, to wartość prędkości w tym ruchu maleje, a przyspieszenie to jest wtedy nazywane opóźnieniem.

Spis treści

Definicja | edytuj kod

Definicja przyspieszenia

Jeżeli dany wektor r {\displaystyle {\vec {r}}} określa położenie punktu materialnego, a wektor v {\displaystyle {\vec {v}}} określa prędkość tego punktu, to jego przyspieszenie a {\displaystyle {\vec {a}}} jest pochodną prędkości po czasie:

a = d v d t . {\displaystyle {\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}.}

Ponieważ prędkość z kolei jest pochodną położenia po czasie, to przyspieszenie można zapisać jako drugą pochodną położenia po czasie:

a = d 2 r d t 2 . {\displaystyle {\vec {a}}={\frac {d^{2}{\vec {r}}}{dt^{2}}}.}

Jednostką przyspieszenia w układzie SI jest metr na sekundę do kwadratu.

a = m s 2 . {\displaystyle [{\vec {a}}]=\mathrm {\frac {m}{s^{2}}} .}

Związek z dynamiką | edytuj kod

Zgodnie z drugą zasadą dynamiki przyspieszenie a {\displaystyle {\vec {a}}} ciała jest proporcjonalne do wypadkowej siły F {\displaystyle {\vec {F}}} działającej na to ciało i odwrotnie proporcjonalne do masy ciała m . {\displaystyle m.} Kierunek i zwrot przyspieszenia a {\displaystyle {\vec {a}}} pokrywa się z kierunkiem i zwrotem siły F . {\displaystyle {\vec {F}}.} Wzór wyrażający tę zależność ma postać

a = F m . {\displaystyle {\vec {a}}={\frac {\vec {F}}{m}}.}

W ruchu prostoliniowym | edytuj kod

W ruchu po linii prostej kierunek prędkości jest ustalony, więc można ją traktować tak jak wielkość skalarną. Wówczas przyspieszenie określa wzór:

a = d v d t . {\displaystyle a={\frac {dv}{dt}}.}

W ruchu jednostajnie zmiennym | edytuj kod

Gdy przyspieszenie jest stałe ( a = c o n s t {\displaystyle a=\mathrm {const} } ), wzór definicyjny przybiera postać

a = Δ v Δ t , {\displaystyle a={\frac {\Delta v}{\Delta t}},}

gdzie Δ v {\displaystyle \Delta v} jest przyrostem prędkości w czasie Δ t . {\displaystyle \Delta t.}

Przyspieszenie w ruchu krzywoliniowym | edytuj kod

Przyspieszenie styczne a t {\displaystyle a_{t}} i normalne a n {\displaystyle a_{n}}

Jeżeli punkt porusza się po torze krzywoliniowym[3], wówczas jego całkowite przyspieszenie może być rozłożone na dwie składowe: prostopadłą do toru ruchu zwaną przyspieszeniem dośrodkowym lub normalnym (oznaczanym a n {\displaystyle {\vec {a}}_{n}} ) i składową równoległą do toru, zwaną przyspieszeniem stycznym (ozn. a t {\displaystyle {\vec {a}}_{t}} ).

Wektor a {\displaystyle {\vec {a}}} przyspieszenia całkowitego jest sumą jego składowych – normalnej a n {\displaystyle {\vec {a}}_{n}} i stycznej a t : {\displaystyle {\vec {a}}_{t}{:}}

a = a n + a t . {\displaystyle {\vec {a}}={\vec {a}}_{n}+{\vec {a}}_{t}.}

Składowe – styczna i normalna – są wzajemnie prostopadłe i dlatego wartość przyspieszenia całkowitego jest równa:

| a | = | a n | 2 + | a t | 2 . {\displaystyle |{\vec {a}}|={\sqrt {|{\vec {a}}_{n}|^{2}+|{\vec {a}}_{t}|^{2}}}.}

Przyspieszenie dośrodkowe (normalne) | edytuj kod

 Osobny artykuł: Przyspieszenie dośrodkowe.

Jest to składowa przyspieszenia prostopadła do toru ruchu. Reprezentuje tę część przyspieszenia, która wpływa na zmianę kierunku prędkości, a zatem na kształt toru, ale nie wpływa na zmianę wartości prędkości[4]. Jeżeli prędkość chwilowa oznaczona jest jako v , {\displaystyle v,} a chwilowy promień zakrzywienia toru (promień okręgu stycznego do toru, czyli promień krzywizny toru) ruchu wynosi r , {\displaystyle r,} to wartość a n {\displaystyle a_{n}} przyspieszenia dośrodkowego ciała jest równa:

a n = v 2 r . {\displaystyle a_{n}={\frac {v^{2}}{r}}.}

Przyspieszenie styczne | edytuj kod

Jest to składowa przyspieszenia styczna do toru ruchu, powodująca zmianę wartości prędkości, ale nie powodująca zmiany kierunku ruchu. Stosując oznaczenie v {\displaystyle v} dla wartości prędkości chwilowej i oznaczenie s {\displaystyle s} dla drogi pokonanej przez ciało, przyspieszenie styczne a t {\displaystyle a_{t}} określają wzory:

a t = d v d t = d 2 s d t 2 . {\displaystyle a_{t}={\frac {dv}{dt}}={\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}.}

Przyspieszenie kątowe | edytuj kod

Przyspieszenie kątowe ciała jest wielkością opisującą jego ruch obrotowy, utworzoną analogicznie do przyspieszenia liniowego, tylko wyrażoną w wielkościach kątowych. Jest pseudowektorem leżącym na osi obrotu i skierowanym zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej. Jeśli współrzędną kątową ciała określa kąt α , {\displaystyle \alpha ,} a ω {\displaystyle \omega } oznacza jego prędkość kątową, to wartość przyspieszenia kątowego ε {\displaystyle \varepsilon } określa wzór

ε = d ω d t = d 2 α d t 2 ε = 1 s 2 . {\displaystyle \varepsilon ={\frac {d\omega }{dt}}={\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}}\quad [\varepsilon ]={\frac {1}{{\text{s}}^{2}}}.}

Jednostką przyspieszenia kątowego w układzie SI jest jeden radian przez sekundę do kwadratu.

Dowolne współrzędne krzywoliniowe | edytuj kod

Niech współrzędne krzywoliniowe q 1 ( t ) , q 2 ( t ) , q 3 ( t ) {\displaystyle q_{1}(t),\,q_{2}(t),\,q_{3}(t)} tworzą układ współrzędnych w przestrzeni R 3 . {\displaystyle R^{3}.} Oznaczmy przez e 1 , e 2 , e 3 {\displaystyle \mathbf {e} _{1},\,\mathbf {e} _{2},\,\mathbf {e} _{3}} wersory kierunków stycznych do osi tego układu[1][5].

Jeżeli a {\displaystyle \mathbf {a} } jest wektorem przyspieszenia, to jego rzuty na osie układu współrzędnych można zapisać wzorami

Ponieważ

d d t ( v e i ) = v ˙ e i + v d d t e i v ˙ e i = d d t ( v e i ) v d d t e i {\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {v} \mathbf {e} _{i})={\dot {\mathbf {v} }}\mathbf {e} _{i}+\mathbf {v} {\frac {d}{dt}}\mathbf {e} _{i}\quad \longrightarrow \quad {\dot {\mathbf {v} }}\mathbf {e} _{i}={\frac {d}{dt}}(\mathbf {v} \mathbf {e} _{i})-\mathbf {v} {\frac {d}{dt}}\mathbf {e} _{i}}

zatem

Na podstawie wzoru dla prędkości

mamy

i dzięki temu

Mamy również

oraz

Z porównania prawych stron (5) i (6) wynika, że

Mamy zatem

Po podstawieniu (5) i (9) do (2) otrzymujemy następujące wzory dla rzutów a i {\displaystyle a_{i}} wektora przyspieszenia a {\displaystyle \mathbf {a} } na osie krzywoliniowego układu współrzędnych

Pomiar | edytuj kod

Do pomiaru służy przetwornik przyspieszenia nazywany przyspieszeniomierzem lub akceleromierzem czy akcelerometrem.

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. a b G.K. Susłow, Mechanika teoretyczna, PWN, Warszawa 1960.
  2. J. Awrejcewicz, Mechanika techniczna i teoretyczna, Wyd. Politechniki Łódzkiej, Łódź 2011.
  3. M. Paluch, Mechanika teoretyczna, Wyd. Politechniki Krakowskiej, Kraków 2006.
  4. R. Janiczek, Mechanika teoretyczna, Cz. 1, 2, 3, Wyd. Politechniki Śląskiej, Częstochowa 1979.
  5. Л.Г. Лойцянский, А.И. Лурье, Курс теоретической механики, Гос. Издат. Технико-теоретической литературы, Москва 1954.
Kontrola autorytatywna (wielkość fizyczna):
Na podstawie artykułu: "Przyspieszenie" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy