Rachunek wariacyjny


Rachunek wariacyjny w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Rachunek wariacyjny – dziedzina analizy matematycznej zajmująca się szukaniem ekstremów funkcjonałów określonych na przestrzeniach funkcyjnych.

Funkcjonały są to odwzorowania z przestrzeni wektorowej w liczby rzeczywiste. Rachunek wariacyjny zajmuje się więc szukaniem funkcji, dla której dany funkcjonał przyjmuje wartość ekstremalną. Najczęściej funkcjonał dany jest całką oznaczoną funkcji[1].

Spis treści

Uwagi ogólne | edytuj kod

Podstawowym zadaniem rachunku wariacyjnego jest znajdowanie ekstremalnych wartości funkcjonałów o postaci całek oznaczonych, reprezentujących określone wielkości fizyczne takie jak czas, długość, powierzchnia, ciężar, sztywność itp. Zadanie to jest analogiczne do zadania rachunku różniczkowego, poszukiwania ekstremum funkcji f ( r ) . {\displaystyle f(\mathbf {r} ).} Jest ono osiągane w punkcie r o {\displaystyle \mathbf {r} _{o}} mającym tę własność, że f ( r o + δ r ) < f ( r o ) {\displaystyle f(\mathbf {r} _{o}+\delta \mathbf {r} )<f(\mathbf {r} _{o})} w przypadku maksimum i f ( r o + δ r ) > f ( r o ) {\displaystyle f(\mathbf {r} _{o}+\delta \mathbf {r} )>f(\mathbf {r} _{o})} w przypadku minimum, gdzie δ r {\displaystyle \delta \mathbf {r} } jest małą wariacją zmiennej r . {\displaystyle \mathbf {r} .}

W rachunku wariacyjnym poszukujemy takiej funkcji q o ( r ) , {\displaystyle \mathbf {q} _{o}(\mathbf {r} ),} dla której funkcjonał U q = Ω F q ( r ) d r {\displaystyle U[\mathbf {q} ]=\int _{\Omega }F[\mathbf {q} (\mathbf {r} )]d\mathbf {r} } ma tę własność, że U q o + δ q < U q o {\displaystyle U[\mathbf {q} _{o}+\delta \mathbf {q} ]<U[\mathbf {q} _{o}]} w przypadku maksimum i U q o + δ q > U q o {\displaystyle U[\mathbf {q} _{o}+\delta \mathbf {q} ]>U[\mathbf {q} _{o}]} w przypadku minimum, gdzie δ q {\displaystyle \delta \mathbf {q} } jest małą wariacją funkcji q ( r ) . {\displaystyle \mathbf {q} (\mathbf {r} ).}

Poszukiwanie ekstremum funkcji f ( x ) {\displaystyle f(x)} (o ciągłej pochodnej) w rachunku różniczkowym wymaga rozwiązania równania f ( x ) = 0 , {\displaystyle f^{'}(x)=0,} które jest warunkiem koniecznym istnienia tego ekstremum. Podobnie w rachunku wariacyjnym poszukiwanie ekstremum funkcjonału U y {\displaystyle U[y]} wymaga spełnienia określonego warunku koniecznego dla jego istnienia, którym okazuje się zwykle pewne równanie różniczkowe dla funkcji y ( x ) . {\displaystyle y(x).}

Przykładowe zagadnienia | edytuj kod

Najkrótsza krzywa łącząca dwa punkty | edytuj kod

 Osobny artykuł: Linia geodezyjna.

Zagadnienie znalezienia najkrótszej krzywej łączącej punkty w przestrzeni jest bardzo proste, jeśli wiemy, że będzie to linia prosta. W ogólności jednak, w zależności od metryki przestrzeni taka krzywa może mieć inną postać. Dowód tego faktu opiera się właśnie na rachunku wariacyjnym, ponieważ długość krzywej dana jest pewną całką.

W przypadku płaszczyzny euklidesowej ( R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} z metryką euklidesową), krzywa łącząca punkty A {\displaystyle A} i B {\displaystyle B} dana jest funkcją y ( x ) : 0 , 1 R , {\displaystyle y(x)\colon [0,1]\to \mathbb {R} ,} taką, że A = ( 0 , y 0 ) {\displaystyle A=(0,y_{0})} i B = ( 1 , y 1 ) , {\displaystyle B=(1,y_{1}),} gdzie y i = y ( i ) . {\displaystyle y_{i}=y(i).}

Długość elementu krzywej ma postać (korzystając z twierdzenia Pitagorasa)

Δ l = Δ x 2 + Δ y 2 {\displaystyle \Delta l={\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}}} gdzie Δ x , Δ y {\displaystyle \Delta x,\Delta y} to małe zmiany współrzędnych.

Wtedy długość całej krzywej dana jest całką:

l = 0 1 1 + ( y ( x ) ) 2 d x . {\displaystyle l=\int \limits _{0}^{1}{\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}dx.}

Metodami rachunku wariacyjnego możemy wyznaczyć krzywą minimalizującą funkcjonał dany tą całką. W tym przypadku krzywa ta dana jest równaniem:

y = ( y 1 y 0 ) x + y 0 . {\displaystyle y=(y_{1}-y_{0})x+y_{0}.}

Najkrótszy czas przejazdu | edytuj kod

Pomiędzy miejscowościami A ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle A(x_{1},y_{1})} i B ( x 2 , y 2 ) {\displaystyle B(x_{2},y_{2})} porusza się pojazd w terenie o tak zróżnicowanej nawierzchni, że w danym jej punkcie P ( x , y ) {\displaystyle P(x,y)} musi zachować prędkość o wartości v ( x , y ) . {\displaystyle v(x,y).} Zakładając, że element trasy d s {\displaystyle ds} pojazd przebywa w czasie d t = d s / v , {\displaystyle dt=ds/v,} możemy czas T {\displaystyle T} przejazdu z A do B po trasie y ( x ) {\displaystyle y(x)} obliczyć za pomocą całki

T = x 1 x 2 d s v = x 1 x 2 1 + y 2 v ( x , y ) d x , {\displaystyle T=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\!\!{\frac {ds}{v}}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\!\!{\frac {\sqrt {1+y^{'2}}}{v(x,y)}}dx,}

której wartość zależy od wyboru trasy y ( x ) {\displaystyle y(x)} i osiąga minimum dla trasy optymalnej y o ( x ) . {\displaystyle y_{o}(x).}

Zasada Fermata | edytuj kod

 Osobny artykuł: Zasada Fermata.

Związane z szukaniem geodezyjnej jest szukanie drogi promienia światła. Jeśli współczynnik załamania światła w ośrodku jest stały, to światło biegnie po liniach prostych, ale załamuje się przy zmianach współczynnika załamania. Ogólnie, zgodnie z zasadą Fermata, światło porusza się po krzywej y ( x ) , {\displaystyle y(x),} dla której czas biegu promienia jest najkrótszy.

Czas, w którym światło pokonuje drogę d s {\displaystyle ds} wynosi d t = d s v = 1 c n d s , {\displaystyle dt={\frac {ds}{v}}={\frac {1}{c}}n\;ds,} gdzie v {\displaystyle v} jest prędkością światła w ośrodku, c {\displaystyle c} to prędkość światła w próżni, a n {\displaystyle n} to bezwzględny współczynnik załamania światła.

Wobec tego funkcjonał, który chcemy minimalizować ma postać:

A B n d s . {\displaystyle \int \limits _{A}^{B}n\;ds.}

W przypadku dwuwymiarowym otrzymujemy:

0 1 n ( x , y ) 1 + ( y ( x ) ) 2 d x , {\displaystyle \int \limits _{0}^{1}n(x,y){\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}\;dx,}

gdzie y ( x ) {\displaystyle y(x)} to krzywa, po której porusza się promień, taka, że A = ( 0 , y ( 0 ) ) {\displaystyle A=(0,y(0))} i B = ( 1 , y ( 1 ) ) . {\displaystyle B=(1,y(1)).}

Metody rachunku wariacyjnego | edytuj kod

Równania Eulera-Lagrange’a | edytuj kod

 Osobny artykuł: Równania Eulera-Lagrange’a.

Są to podstawowe równania rachunku wariacyjnego[2], służące do znajdowania ekstremów funkcjonałów danych całką. Rozwiązaniami równań E-L są funkcje, dla których całka przyjmuje wartości ekstremalne.

Jeśli funkcjonał ma postać

S = t 1 t 2 L ( x ( t ) , x ˙ ( t ) , t ) d t , {\displaystyle S=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}L(x(t),{\dot {x}}(t),t)\;dt,}

to równania E-L mają postać

d d t ( L x ˙ ) L x = 0 , {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial x}}=0,}

gdzie x {\displaystyle x} może być liczbą rzeczywistą albo wektorem – w drugim przypadku dostajemy układ równań

d d t ( L x ˙ i ) L x i = 0 , {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}=0,}

gdzie x i {\displaystyle x_{i}} jest i {\displaystyle i} -tą współrzędną wektora x . {\displaystyle x.}

Warto wspomnieć, że procedury rozwiązywania zagadnień wariacyjnych prowadzą często do równań różniczkowych cząstkowych, które w ogólności są bardzo trudne do rozwiązania. Zadanie komplikuje fakt, że teoria równań różniczkowych zajmuje się poszukiwaniem rozwiązań w otoczeniu danego punktu, natomiast w rachunku wariacyjnym interesuje nas rozwiązanie na danym obszarze.

Przypisy | edytuj kod

  1. В.И. Смирнов, Курс высшей математики, t. IV, Гос. Издат. технико-теоретической литературы, Москва-Ленинград 1951.
  2. K. Tatarkiewicz, Rachunek wariacyjny, cz. 1–2, WNT, Warszawa 1970.

Bibliografia | edytuj kod

  • John R. Taylor: Mechanika klasyczna. T. 1. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006, s. 212–232. ISBN 978-83-01-14674-0.
  • Frederick W. Byron, Robert W. Fuller: Matematyka w fizyce klasycznej i kwantowej. T. 1. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1975, s. 45–53.
Kontrola autorytatywna (rachunek różniczkowy i całkowy):
Na podstawie artykułu: "Rachunek wariacyjny" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy