Ruch prostoliniowy


Ruch jednostajny prostoliniowy w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii (Przekierowano z Ruch prostoliniowy) Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Wykresy kolejno: drogi, prędkości i przyspieszenia w funkcji czasu w ruchu jednostajnym prostoliniowym przy założeniu, że położenie w chwili początkowej opisuje liczba 0.

Ruch jednostajny prostoliniowyruch jednostajny po torze prostoliniowym, czyli ruch odbywający się wzdłuż prostej ze stałą prędkością. Zgodnie z I zasadą dynamiki Newtona ciało porusza się po torze prostoliniowym (lub pozostaje w spoczynku), jeżeli na ciało nie działa żadna siła lub działające siły się równoważą.

W ruchu jednostajnym prostoliniowym wektor prędkości jest stały, co oznacza, że jego kierunek (i zwrot) nie zależą od czasu; w związku z tym szybkość, czyli wartość bezwzględna prędkości, również jest stała. Oznacza to, że przyspieszenie jest równe zeru, a prędkość średnia równa jest prędkości chwilowej. Ponadto wartość bezwzględna przemieszczenia (zmiany położenia) jest równa drodze pokonanej przez ciało.

Opis | edytuj kod

Ponieważ prędkość w ruchu jednostajnym nie zależy od czasu, tzn. zmiana położenia w równych odstępach czasu jest stała,

v t = v = c o n s t , {\displaystyle \mathbf {v} _{t}=\mathbf {v} =\mathrm {const} ,}

czyli droga zależy wprost proporcjonalnie od czasu:

Δ x t = x t 2 x t 1 = v ( t 2 t 1 ) = v Δ t , {\displaystyle \Delta \mathrm {x} _{t}=\mathrm {x} _{t_{2}}-\mathrm {x} _{t_{1}}=\mathbf {v} (t_{2}-t_{1})=\mathbf {v} \Delta t,}

gdzie Δ t = t 2 t 1 > 0 {\displaystyle \Delta t=t_{2}-t_{1}>0} jest odcinkiem czasu, w którym ciało przemieściło się o Δ x t = x t 2 x t 1 , {\displaystyle \Delta \mathrm {x} _{t}=\mathrm {x} _{t_{2}}-\mathrm {x} _{t_{1}},} czyli pokonało drogę

Δ s t = s t 2 s t 1 = | x t 2 x t 1 | = | Δ x t | = | v | Δ t = v ( t 2 t 1 ) , {\displaystyle \Delta s_{t}=s_{t_{2}}-s_{t_{1}}=|\mathrm {x} _{t_{2}}-\mathrm {x} _{t_{1}}|=|\Delta \mathrm {x} _{t}|=|\mathbf {v} |\Delta t=v(t_{2}-t_{1}),}

gdzie v = | v | {\displaystyle v=|\mathbf {v} |} to szybkość. Oznacza to, że po czasie t 2 {\displaystyle t_{2}} ciało znajduje się w położeniu

x t 2 = v ( t 2 t 1 ) + x t 1 . {\displaystyle \mathrm {x} _{t_{2}}=\mathbf {v} (t_{2}-t_{1})+\mathrm {x} _{t_{1}}.}

Podstawiając t = t 2 {\displaystyle t=t_{2}} oraz t 1 = 0 , {\displaystyle t_{1}=0,} równanie ruchu przyjmuje postać

x t = v t + x 0 , {\displaystyle \mathrm {x} _{t}=\mathbf {v} t+\mathrm {x} _{0},}

a przebyta droga wyraża się wzorem

s t = | x t | = v t + s 0 , {\displaystyle s_{t}=|\mathrm {x} _{t}|=vt+s_{0},}

gdzie t {\displaystyle t} jest parametrem czasowym, x 0 {\displaystyle \mathrm {x} _{0}} oznacza początkowe położenie ciała, s 0 {\displaystyle s_{0}} oznacza drogę pokonaną przez ciało do tej pory (zwykle przyjmuje się, że jest ona równa zeru), zaś v {\displaystyle \mathbf {v} } oraz v {\displaystyle v} to stałe odpowiednio prędkość i szybkość.

Jeżeli ruch opisany jest za pomocą położenia x {\displaystyle \mathrm {x} } względem czasu t {\displaystyle t} za pomocą funkcja (całkowalnej) x t , {\displaystyle \mathrm {x} _{t},} to droga jest równa długości krzywej przez nią wyznaczanej. Ponieważ prędkość jest pochodną drogi względem czasu,

v t = d x t d t , {\displaystyle \mathbf {v} _{t}={\frac {\operatorname {d} \mathrm {x} _{t}}{\operatorname {d} t}},}

to przy oznaczeniach jw. przemieszczenie można wówczas wyrazić całką oznaczoną

Δ x t = x t 2 x t 1 = t 1 t 2 d x t = t 1 t 2 v d t = v ( t 2 t 1 ) {\displaystyle \Delta \mathrm {x} _{t}=\mathrm {x} _{t_{2}}-\mathrm {x} _{t_{1}}=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}\operatorname {d} \mathrm {x} _{t}=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {v} \operatorname {d} t=\mathbf {v} (t_{2}-t_{1})}

przy czym prędkość jako stałą v {\displaystyle \mathbf {v} } względem czasu można wyłączyć ją przed całkę. Dla t = t 2 {\displaystyle t=t_{2}} oraz t 1 = 0 {\displaystyle t_{1}=0} jest

x t = v t + x 0 . {\displaystyle \mathrm {x} _{t}=\mathbf {v} t+\mathrm {x} _{0}.}

Droga to długość krzywej, tzn.

Δ s t = s t 2 s t 1 = t 1 t 2 | d x t | = t 1 t 2 | v | d t = v ( t 2 t 1 ) , {\displaystyle \Delta s_{t}=s_{t_{2}}-s_{t_{1}}=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}|\operatorname {d} \mathrm {x} _{t}|=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}|\mathbf {v} |\operatorname {d} t=v(t_{2}-t_{1}),}

czyli dla t = t 2 {\displaystyle t=t_{2}} oraz t 1 = 0 {\displaystyle t_{1}=0} jest

s t = v t + s 0 . {\displaystyle s_{t}=vt+s_{0}.}

Zobacz też | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Ruch prostoliniowy" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy