Sfera


Sfera w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Sfera

Sfera (z gr. σφαῖρα sphaîra "kula, piłka") – zbiór wszystkich punktów (miejsce geometryczne) w przestrzeni metrycznej oddalonych o ustaloną odległość od wybranego punktu. Ustalona odległość nazywa się promieniem sfery, wybrany punkt nazywa się środkiem sfery. Tak zdefiniowany zbiór jest brzegiem kuli o tym samym środku i promieniu. Zazwyczaj jako przestrzeń metryczną rozpatruje się przestrzeń euklidesową.

Sfera w euklidesowej przestrzeni trójwymiarowej | edytuj kod

Najczęściej mówimy o sferze w przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej. Taka sfera jest dwuwymiarową powierzchnią opisywaną wzorem:

( x x 0 ) 2 + ( y y 0 ) 2 + ( z z 0 ) 2 = r 2 , {\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2},}

gdzie ( x 0 , y 0 , z 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})} to współrzędne środka sfery, a wartość r {\displaystyle r} jest nazywana promieniem sfery.

W tym samym układzie współrzędnych sfera może być opisana za pomocą równania parametrycznego:

{ x ( α , β ) = x 0 + r cos α cos β y ( α , β ) = y 0 + r sin β z ( α , β ) = z 0 + r sin α cos β {\displaystyle {\begin{cases}x(\alpha ,\beta )=x_{0}+r\cos \alpha \cos \beta \\[2pt]y(\alpha ,\beta )=y_{0}+r\sin \beta \\[2pt]z(\alpha ,\beta )=z_{0}+r\sin \alpha \cos \beta \end{cases}}}

gdzie:

  • α π , π ) , {\displaystyle \alpha \in [-\pi ,\pi ),}
  • β π 2 , π 2 . {\displaystyle \beta \in [-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}].}

Parametry α , β {\displaystyle \alpha ,\beta } są odpowiednio długością i szerokością geograficzną w odpowiednim układzie współrzędnych sferycznych związanym ze środkiem sfery

W układzie współrzędnych sferycznych, równanie sfery o promieniu r {\displaystyle r} i środku znajdującym się w środku układu współrzędnych, przyjmuje postać r ( α , β ) = r = c o n s t {\displaystyle r(\alpha ,\beta )=r=const} dla dowolnych kątów α π , π ) , β π 2 , π 2 . {\displaystyle \alpha \in [-\pi ,\pi ),\beta \in [-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}].}

Związane pojęcia | edytuj kod

Cięciwa sfery to odcinek o końcach na sferze.

Średnica sfery to:

  • cięciwa przechodząca przez środek sfery
  • długość tej cięciwy, czyli podwojona wartość promienia sfery.

Pole powierzchni sfery wyraża się wzorem:

S = 4 π r 2 . {\displaystyle S=4\pi r^{2}.}

Okrąg wielki sfery to okrąg o promieniu tej sfery, o środku w jej środku.

Krzywizna Gaussa sfery w każdym jej punkcie wynosi:

K = 1 r 2 . {\displaystyle K={\frac {1}{r^{2}}}.}

Sfera w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej | edytuj kod

 Zobacz też: hipersfera.

Pojęcie sfery może być zdefiniowane w przestrzeni euklidesowej dowolnego wymiaru. Wówczas w przestrzeni n {\displaystyle n} -wymiarowej sfera może być opisana następującym wzorem:

j = 1 n ( x j s j ) 2 = r 2 , {\displaystyle \sum _{j=1}^{n}(x_{j}-s_{j})^{2}=r^{2},}

gdzie x j {\displaystyle x_{j}} to j {\displaystyle j} -ta współrzędna punktu na sferze, s j {\displaystyle s_{j}} to j {\displaystyle j} -ta współrzędna jej środka, r {\displaystyle r} to promień sfery. W tym ujęciu okrąg jest szczególnym przypadkiem sfery w przestrzeni dwuwymiarowej, a zbiór dwóch punktów jest sferą w przestrzeni jednowymiarowej.

Sfera w przestrzeni n {\displaystyle n} -wymiarowej jest czasem nazywana sferą m-wymiarową i oznaczana S m , {\displaystyle S^{m},} gdzie m = n 1 , {\displaystyle m=n-1,} ponieważ taka sfera jest powierzchnią m {\displaystyle m} -wymiarową. Dla przykładu, zwykłą sferę rozpatruje się w przestrzeni trójwymiarowej, ale ona jest zwykłą powierzchnią, czyli obiektem dwuwymiarowym; dlatego to sfera dwuwymiarowa, S 2 . {\displaystyle S^{2}.} Jeżeli m > 2 {\displaystyle m>2} (tzn. n > 3 {\displaystyle n>3} ), to taka uogólniona sfera jest nazywana też hipersferą.

Uogólnienia | edytuj kod

Sfera jest też pojęciem topologii, w której oznacza rozmaitość, homeomorficzną ze sferą geometryczną, zdefiniowaną jak powyżej.

Zobacz też | edytuj kod

Kontrola autorytatywna (elipsoida obrotowa):
Na podstawie artykułu: "Sfera" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy