Suma prosta przestrzeni liniowych


Suma prosta przestrzeni liniowych w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Suma prosta przestrzeni liniowych – mówimy, że przestrzeń liniowa V {\displaystyle V} jest przedstawiona w postaci sumy prostej jej podprzestrzeni liniowych { V i : i I } {\displaystyle \{V_{i}\colon i\in I\}} (gdzie I {\displaystyle I} jest pewnym zbiorem indeksów), gdy każdy element v V {\displaystyle v\in V} może być jednoznacznie przedstawiony w postaci poniższej sumy:

v = i I v i {\displaystyle v=\sum _{i\in I}v_{i}} dla v i V i . {\displaystyle v_{i}\in V_{i}.}

Piszemy wówczas:

V = V 1 V n {\displaystyle V=V_{1}\oplus \ldots \oplus V_{n}}

bądź skrótowo

V = i I V i , {\displaystyle V=\bigoplus _{i\in I}V_{i},}

gdzie I = { 1 , , n } . {\displaystyle I=\{1,\dots ,n\}.}

Podział danej przestrzeni na sumy proste pozwala klasyfikować jej elementy – jeżeli dany wektor należy do podprzestrzeni V i , {\displaystyle V_{i},} to wyraża się całkowicie za pomocą wektorów bazy tej podprzestrzeni.

Podział przestrzeni na podprzestrzenie tworzące sumę prostą przestrzeni nie jest unikalny – istnieje zazwyczaj wiele możliwych podziałów przestrzeni liniowej na sumy proste.

Spis treści

Twierdzenie | edytuj kod

Jeżeli V 1 {\displaystyle V_{1}} jest podprzestrzenią liniową przestrzeni V {\displaystyle V} to zawsze istnieje taka podprzestrzeń V 2 , {\displaystyle V_{2},} że

V = V 1 V 2 . {\displaystyle V=V_{1}\oplus V_{2}.}

W algebrze liniowej, podprzestrzenie V 1 {\displaystyle V_{1}} i V 2 {\displaystyle V_{2}} nazywane są podprzestrzeniami (wzajemnie) komplementarnymi.

Przykład 1: Suma prosta w przestrzeni funkcji | edytuj kod

Niech V {\displaystyle V} oznacza przestrzeń liniową wszystkich funkcji rzeczywistych określonych w zbiorze liczb rzeczywistych. Niech V n , V p {\displaystyle V_{n},V_{p}} będą zdefiniowane jako:

Dowolną funkcje f {\displaystyle f} można przedstawić jako sumę f ( x ) = f ( x ) + f ( x ) 2 + f ( x ) f ( x ) 2 , {\displaystyle f(x)={\frac {f(x)+f(-x)}{2}}+{\frac {f(x)-f(-x)}{2}},}

gdzie pierwszy składnik jest funkcją parzystą, drugi zaś nieparzystą. Rozkład ten jest jednoznaczny.

Dowód (niewprost)

Załóżmy że daną funkcje daje się rozłożyć na dwa sposoby na sumę funkcji parzystej i nieparzystej. Czyli mamy:

f = p 1 + n 1 = p 2 + n 2 {\displaystyle f=p_{1}+n_{1}=p_{2}+n_{2}}

lub równoważnie

n 1 n 2 = p 2 p 1 . {\displaystyle n_{1}-n_{2}=p_{2}-p_{1}.}

Prawa strona jest funkcją parzystą (różnica parzystych jest parzysta) zaś lewa – nieparzystą. Jedyną funkcją która jest jednocześnie parzysta i nieparzysta jest funkcja stale równa zero. Oznacza to że

p 1 = p 2 {\displaystyle p_{1}=p_{2}} oraz n 1 = n 2 , {\displaystyle n_{1}=n_{2},}

co prowadzi nas do sprzeczności z przyjętym założeniem, cdn.

Ponieważ każdą funkcję można jednoznacznie przedstawić za pomocą sumy funkcji parzystej i nieparzystej, to oznacza że przestrzeń funkcji można przedstawić jako sumę prostą funkcji parzystych i nieparzystych:

V = V p V n . {\displaystyle V=V_{p}\oplus V_{n}.}

Przykład 2: Suma prosta w przestrzeni macierzy kwadratowych | edytuj kod

W przestrzeni liniowej V {\displaystyle V} macierzy n × n {\displaystyle n\times n} każdą macierz można przedstawić jako sumę macierzy symetrycznej i antysymetrycznej, tzn.

A = A s y m + A a n t y s y m , {\displaystyle A=A^{sym}+A^{antysym},}

gdzie:

A T {\displaystyle A^{T}} – macierz transponowana macierzy A , {\displaystyle A,} A s y m = 1 2 ( A + A T ) {\displaystyle A^{sym}={\frac {1}{2}}\left(A+A^{T}\right)} – macierz symetryczna, A a n t y s y m = 1 2 ( A A T ) {\displaystyle A^{antysym}={\frac {1}{2}}\left(A-A^{T}\right)} – macierz antysymetryczna.

Macierze symetryczne tworzą podprzestrzeń V s y m {\displaystyle V^{sym}} przestrzeni liniowej V {\displaystyle V} macierzy, gdyż:

a) suma macierzy symetrycznych jest macierzą symetryczną,

b) iloczyn macierzy symetrycznej przez skalar daje macierz symetryczną.

Podobnie, macierze antysymetryczne tworzą podprzestrzeń V a n t y s y m {\displaystyle V^{antysym}} przestrzeni V . {\displaystyle V.}

Ponieważ każdą macierz przestrzeni V {\displaystyle V} da się jednoznacznie rozłożyć na macierz symetryczną i antysymetryczną, to całą przestrzeń można przedstawić jako sumę prostą

V = V s y m V a n t y s y m . {\displaystyle V=V^{sym}\oplus V^{antysym}.}

Np. dla macierzy

A = 1 2 4 0 4 6 0 0 8 {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&4\\0&4&6\\0&0&8\end{bmatrix}}}

macierz transponowana, symetryczna i antysymetryczna mają postacie

A T = 1 0 0 2 4 0 4 6 8 , {\displaystyle A^{T}={\begin{bmatrix}1&0&0\\2&4&0\\4&6&8\end{bmatrix}},} A s y m = 1 1 2 1 4 3 2 3 8 , {\displaystyle A^{sym}={\begin{bmatrix}1&1&2\\1&4&3\\2&3&8\end{bmatrix}},} A a n t y s y m = 0 1 2 1 0 3 2 3 0 . {\displaystyle A^{antysym}={\begin{bmatrix}0&1&2\\-1&0&3\\-2&-3&0\end{bmatrix}}.}

Przykład 3: Suma prosta w przestrzeni tensorowej | edytuj kod

Przestrzeń liniowa utworzona z tensorów II rzędu (tzw. przestrzeń tensorowa) może być przedstawiona jako suma prosta przestrzeni tensorowej tensorów symetrycznych i przestrzeni tensorowej tensorów antysymetrycznych. Np. w reprezentacji macierzowej dowolny tensor II rzędu jest reprezentowany przez macierz n × n , {\displaystyle n\times n,} gdzie n {\displaystyle n} – wymiar przestrzeni liniowej, na której określono pole tensorowe. Macierz tę można zawsze przedstawić jako sumę macierzy symetrycznej i antysymetrycznej.

Przykład 4: Przestrzeń wektorowa n-wymiarowa | edytuj kod

Niech V {\displaystyle V} oznacza przestrzeń wektorową 3 {\displaystyle 3} -wymiarową (ogólnie: n {\displaystyle n} -wymiarową). W przestrzeni tej można wprowadzić podział na sumy proste następująco:

  • wybiera się bazę przestrzeni V {\displaystyle V} (możliwych baz jest nieskończenie wiele – najprostsze są bazy kartezjańskie, w ogólności mogą to być bazy współrzędnych krzywoliniowych, np. sferycznych, walcowych, i dowolnych innych),
  • zbiór wektorów B = { e 1 , e 2 , e 3 } {\displaystyle B=\{e_{1},e_{2},e_{3}\}} bazy dzieli się na rozłączne podzbiory; np. dla zbioru 3 {\displaystyle 3} -elementowego mamy możliwe podziały bazy: P 1 = { { e 1 } , { e 2 , e 3 } } , {\displaystyle P_{1}=\{\{e_{1}\},\{e_{2},e_{3}\}\},} P 2 = { { e 2 } , { e 3 , e 1 } } , {\displaystyle P_{2}=\{\{e_{2}\},\{e_{3},e_{1}\}\},} P 3 = { { e 3 } , { e 1 , e 2 } } , {\displaystyle P_{3}=\{\{e_{3}\},\{e_{1},e_{2}\}\},} P 4 = { { e 1 } , { e 2 } , { e 2 } } . {\displaystyle P_{4}=\{\{e_{1}\},\{e_{2}\},\{e_{2}\}\}.}

Każdy z podziałów bazy na podzbiory wyznacza jeden z możliwych sposobów podziału przestrzeni V {\displaystyle V} na sumę prostą podprzestrzeni – bazami tych podprzestrzeni są poszczególne podzbiory bazy w danym podziale. W podanym przykładzie mielibyśmy 4 możliwe podziały na sumy proste, których bazami byłyby podane wyżej podzbiory bazy B = { e 1 , e 2 , e 3 } : {\displaystyle B=\{e_{1},e_{2},e_{3}\}{:}}

V = V 1 V 23 , {\displaystyle V=V_{1}\oplus V_{23},} V = V 2 V 31 , {\displaystyle V=V_{2}\oplus V_{31},} V = V 3 V 12 , {\displaystyle V=V_{3}\oplus V_{12},} V = V 1 V 2 V 3 . {\displaystyle V=V_{1}\oplus V_{2}\oplus V_{3}.}

Dla przestrzeni n {\displaystyle n} -wymiarowej – przy dużej wartości n {\displaystyle n} – możliwych podziałów byłoby bardzo dużo.

Suma prosta w analizie funkcjonalnej | edytuj kod

 Osobny artykuł: Podprzestrzeń komplementarna.

W analizie funkcjonalnej, suma prosta podprzestrzeni V 1 {\displaystyle V_{1}} i V 2 {\displaystyle V_{2}} danej przestrzeni liniowo-topologicznej X {\displaystyle X} oznacza sumę prostą

X = V 1 V 2 . {\displaystyle X=V_{1}\oplus V_{2}.}

przy założeniu, że V 1 {\displaystyle V_{1}} i V 2 {\displaystyle V_{2}} domknięte (czasami dla odróżnienia, mówi się o topologicznej sumie prostej). Jeśli V 1 {\displaystyle V_{1}} jest domkniętą podprzestrzenią przestrzeni liniowo-topologicznej X {\displaystyle X} (np. przestrzeni Banacha X {\displaystyle X} ), to na ogół, nie istnieje komplementarna do niej podprzestrzeń V 2 {\displaystyle V_{2}} (tutaj definicję komplementarności zawęża się o wymaganie domkniętości obu podprzestrzeni). W przypadku, gdy X {\displaystyle X} jest przestrzenią Hilberta, to twierdzenie o rzucie ortogonalnym gwarantuje, że dla każdej jej domkniętej podprzestrzeni V 1 {\displaystyle V_{1}} jej dopełnienie ortogonalne V 1 {\displaystyle V_{1}^{\perp }} stanowi rozkład na (topologiczną) sumę prostą, tzn.

X = V 1 V 1 . {\displaystyle X=V_{1}\oplus V_{1}^{\perp }.}

Własność ta (tzn. własność istnienia podprzestrzeni komplementarnej do każdej domkniętej podprzestrzeni) charakteryzuje przestrzenie Hilberta w klasie przestrzeni Banacha.

Zewnętrzna suma prosta | edytuj kod

Niech { V i : i I } {\displaystyle \{V_{i}\colon i\in I\}} będzie rodziną przestrzeni liniowych nad tym samym ciałem. Najmniejszą podprzestrzeń liniowa iloczynu kartezjańskiego

i I V i , {\displaystyle \prod _{i\in I}V_{i},}

która zawiera zbiór

{ j i V i : i I } , {\displaystyle \bigcup \{j_{i}[V_{i}]\colon \,i\in I\},}

tzn. jest przez ten zbiór generowana, gdzie

j i : V i i I V i {\displaystyle j_{i}\colon V_{i}\to \prod _{i\in I}V_{i}}

przyporządkowuje elementowi v k V k {\displaystyle v_{k}\in V_{k}} taki element

( x i ) i I i I V i , {\displaystyle (x_{i})_{i\in I}\in \prod _{i\in I}V_{i},}

że x k = v k {\displaystyle x_{k}=v_{k}} oraz x i = 0 {\displaystyle x_{i}=0} dla i k {\displaystyle i\neq k} nazywana jest (zewnętrzną) sumą prostą rodziny { V i : i I } . {\displaystyle \{V_{i}\colon i\in I\}.}

W przypadku zewnętrznej sumy prostej stosuje się takie same oznaczenia jak w przypadku pojęcia zdefiniowanego na początku artykułu (które dla odróżnienia nazywa się wówczas wewnętrzną sumą prostą). Jeżeli I {\displaystyle I} jest zbiorem skończonym, to suma prosta przestrzeni jest tym samym co ich iloczyn kartezjański:

i I V i = i I V i . {\displaystyle \bigoplus _{i\in I}V_{i}=\prod _{i\in I}V_{i}.}

Zewnętrzna suma prosta jest koproduktem w kategorii przestrzeni liniowych nad ustalonym ciałem.

Suma prosta odwzorowań | edytuj kod

Dla pary odwzorowań między przestrzeniami liniowymi V i {\displaystyle V_{i}} i W i , {\displaystyle W_{i},} i = 1 , 2 {\displaystyle i=1,2}

φ 1 : V 1 W 1 , {\displaystyle \varphi _{1}\colon V_{1}\to W_{1},} φ 2 : V 2 W 2 , {\displaystyle \varphi _{2}\colon V_{2}\to W_{2},}

definiuje się ich sumę prostą

φ 1 φ 2 : V 1 V 2 W 1 W 2 {\displaystyle \varphi _{1}\oplus \varphi _{2}\colon V_{1}\oplus V_{2}\to W_{1}\oplus W_{2}}

wzorem

( φ 1 φ 2 ) ( v 1 , v 2 ) = ( φ 1 ( v 1 ) , φ 2 ( v 2 ) ) . {\displaystyle (\varphi _{1}\oplus \varphi _{2})(v_{1},v_{2})=(\varphi _{1}(v_{1}),\varphi _{2}(v_{2})).}

Analogicznie definiuje się sumę prostą dowolnej liczby odwzorowań: Jeżeli V i , W i {\displaystyle V_{i},W_{i}} są przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem oraz

φ i : V i W i , i I , {\displaystyle \varphi _{i}\colon V_{i}\to W_{i},\,i\in I,}

to wzór

( i I φ i ) ( ( x i ) i I ) = ( φ ( x i ) ) i I , ( x i ) i I i I V i {\displaystyle \left(\bigoplus _{i\in I}\varphi _{i}\right)((x_{i})_{i\in I})=(\varphi (x_{i}))_{i\in I},\,(x_{i})_{i\in I}\in \bigoplus _{i\in I}V_{i}}

definiuje przekształcenie

i I φ i : i I V i i I W i {\displaystyle \bigoplus _{i\in I}\varphi _{i}\colon \bigoplus _{i\in I}V_{i}\to \bigoplus _{i\in I}W_{i}}

nazywane sumą prostą rodziny odwzorowań ( φ i ) i I . {\displaystyle (\varphi _{i})_{i\in I}.}

Suma prosta przestrzeni Banacha | edytuj kod

Jeżeli { X i : i I } {\displaystyle \{X_{i}\colon i\in I\}} jest rodziną przestrzeń Banacha, to w (algebraicznej) sumie prostej

i I X i . {\displaystyle \bigoplus _{i\in I}X_{i}.}

nie da się w naturalny sposób zdefiniować normy, która byłaby w istotny sposób związana z normami poszczególnych przestrzeni X i , {\displaystyle X_{i},} a uzyskana przestrzeń unormowana byłaby zupełna (poza szczególnym przypadkiem, gdy zbiór I {\displaystyle I} jest skończony). W sytuacji ogólnej musimy rozpatrywać uzupełnienie algebraicznej sumy prostej – jest to procedura którą intuicyjnie można opisać jako dołożenie do niej granic ciągów Cauchy’ego. Na algebraicznej sumie prostej można zadać wiele nierównoważnych norm – prowadzi to powstania wielu różnych sposobów określania sumy prostej.

c0-suma przestrzeni Banacha | edytuj kod

Jeżeli { ( X n , n ) : n N } {\displaystyle \{(X_{n},\|\cdot \|_{n})\colon n\in \mathbb {N} \}} jest (przeliczalną) rodziną przestrzeni Banacha, to podprzestrzeń

X n N X n {\displaystyle X\subseteq \prod _{n\in \mathbb {N} }X_{n}}

tych ciągów ( x n ) n , {\displaystyle (x_{n})_{n},} dla których

lim n x n n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|x_{n}\|_{n}=0}

jest przestrzenią Banacha z normą

( x n ) n = sup { x n n : n N } . {\displaystyle \|(x_{n})_{n}\|=\sup\{\|x_{n}\|_{n}\colon n\in \mathbb {N} \}.}

Podprzestrzeń X {\displaystyle X} nazywana jest czasem c 0 {\displaystyle c_{0}} sumą rozważanej wyżej rodziny przestrzeni Banacha i oznaczana jest symbolem

X = ( n N X n ) c 0 . {\displaystyle X=\left({\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }}X_{n}\right)_{c_{0}}.}

Analogicznie definiuje się sumy typu c 0 ( I ) , {\displaystyle c_{0}(I),} gdzie I {\displaystyle I} jest dowolnym, nieprzeliczalnym zbiorem indeksów.

lp-suma przestrzeni Banacha. Suma prosta przestrzeni Hilberta | edytuj kod

Jeżeli { ( X i , i ) : i I } {\displaystyle \{(X_{i},\|\cdot \|_{i})\colon i\in I\}} jest rodziną przestrzeni Banacha oraz 1 p < , {\displaystyle 1\leqslant p<\infty ,} to podprzestrzeń

X i I X i {\displaystyle X\subseteq \prod _{i\in I}X_{i}}

złożona z tych elementów ( x i ) i {\displaystyle (x_{i})_{i}} dla których co najwyżej przeliczalnie wiele wyrazów x i {\displaystyle x_{i}} jest niezerowych oraz szereg

i I x i i p , {\displaystyle \sum _{i\in I}\|x_{i}\|_{i}^{p},}

jest zbieżny, jest przestrzenią Banacha z normą

( x i ) i p = ( i I x i i p ) 1 p . {\displaystyle \|(x_{i})_{i}\|_{p}=\left(\sum _{i\in I}\|x_{i}\|_{i}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}.}

Przestrzeń X {\displaystyle X} nazywana jest p {\displaystyle \ell ^{p}} -sumą rodziny { X i : i I } {\displaystyle \{X_{i}\colon i\in I\}} i oznaczana symbolem

X = ( i I X i ) p . {\displaystyle X=\left({\bigoplus _{i\in I}}X_{i}\right)_{\ell ^{p}}.}

Jeżeli p {\displaystyle p} i q {\displaystyle q} są dowolnymi liczbami z przedziału 1 , ) , {\displaystyle [1,\infty ),} to normy w p {\displaystyle \ell ^{p}} – i q {\displaystyle \ell ^{q}} -sumie skończenie wielu przestrzeni Banacha są równoważne.

W przypadku, gdy wszystkie przestrzenie X i {\displaystyle X_{i}} przestrzeniami Hilberta, to ich 2 {\displaystyle \ell ^{2}} -suma jest również przestrzenią Hilberta. W teorii przestrzeni Hilberta, przestrzeń ta nazywana jest po prostu suma prostą przestrzeni Hilberta (dolny indeks 2 {\displaystyle \ell ^{2}} w oznaczeniu najczęściej pomija się). Iloczyn skalarny elementów ( x i ) i {\displaystyle (x_{i})_{i}} i ( y i ) i {\displaystyle (y_{i})_{i}} w sumie prostej spełnia warunek

( x i ) i , ( y i ) i = i I x i , y i i . {\displaystyle \langle (x_{i})_{i},(y_{i})_{i}\rangle =\sum _{i\in I}\langle x_{i},y_{i}\rangle _{i}.}

Pojęcie p {\displaystyle \ell ^{p}} -sumy skończenie wielu przestrzeni Banacha pochodzi od Banacha[1]. Przypadek przeliczalnie wielu przestrzeni Banacha rozważał Day[2], natomiast przypadek ogólny został zdefiniowany przez Kakutaniego[3].

Suma prosta operatorów ograniczonych | edytuj kod

Jeżeli ( T i ) i I {\displaystyle (T_{i})_{i\in I}} jest rodziną operatorów jednakowo ograniczonych między przestrzeniami Banacha, odpowiednio, X i {\displaystyle X_{i}} i Y i , {\displaystyle Y_{i},} tj.

sup i I T i < , {\displaystyle \sup _{i\in I}\|T_{i}\|<\infty ,}

to dla ustalonego p 1 {\displaystyle p\geqslant 1} definiuje się analogicznie jak w przypadku ogólnych przestrzeni liniowych p {\displaystyle \ell ^{p}} -sumę rodziny ( T i ) i I , {\displaystyle (T_{i})_{i\in I},} tj. operator

( i I T i ) p : ( i I X i ) p ( i I Y i ) p , {\displaystyle \left(\bigoplus _{i\in I}T_{i}\right)_{\ell ^{p}}\colon \left(\bigoplus _{i\in I}X_{i}\right)_{\ell ^{p}}\to \left(\bigoplus _{i\in I}Y_{i}\right)_{\ell ^{p}},}

zastępując pojęcie sumy prostej pojęciem p {\displaystyle \ell ^{p}} -sumy. W szczególności, p {\displaystyle \ell ^{p}} -suma operatorów ograniczonych jest operatorem ograniczonym oraz

( i I T i ) p = sup { T i : i I } . {\displaystyle \left\|\left(\bigoplus _{i\in I}T_{i}\right)_{\ell ^{p}}\right\|=\sup\{\|T_{i}\|\colon i\in I\}.}

Jeżeli X i , Y i {\displaystyle X_{i},Y_{i}} są przestrzeniami Hilberta, to 2 {\displaystyle \ell ^{2}} -sumę operatorów T i {\displaystyle T_{i}} nazywa się sumą prostą operatorów na przestrzeniach Hilberta.

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. Stefan Banach: Théorie des opérations linéaires. Warszawa: 1932, s. 182, seria: Monografie Matematyczne. Zbl 0005.20901.
  2. Mahlon M. Day. Reflexive Banach spaces not isomorphic to uniformly convex spaces, Bulletin of the American Mathematical Society 47, s. 313–317.
  3. Shizuo Kakutani, Concrete representation of abstract (L)-spaces and the mean ergodic theorem, Ann. of Math. 42, s. 523–537.

Bibliografia | edytuj kod

  • Aleksiej I. Kostrikin: Wstęp do algebry, cz. 2 Algebra liniowa. Warszawa: PWN, 2004. ISBN 83-01-14267-7.
  • Krzysztof Maurin: Analiza – Część I – Elementy. Warszawa: PWN, 1976.
  • Albert Pietsch: History of Banach Spaces and Linear Operators. Wyd. pierwsze. Boston: Birkhäuser, 2007, s. 126–127. ISBN 0-8176-4367-2.
  • A.P. Robertson, W.J. Robertson: Topological vector spaces. Cambridge Tracts in Mathematics. 53: Cambridge University Press, 1964, s. 89–90.
Na podstawie artykułu: "Suma prosta przestrzeni liniowych" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy