Twierdzenie Cayleya


Twierdzenie Cayleya w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Spis treści

Twierdzenie Cayleya – twierdzenie mówiące, że dowolna abstrakcyjna grupa jest w rzeczywistości pewną grupą przekształceń zbioru, na którym została ona określona. Jest to więc podgrupa grupy symetrycznej tego zbioru. Twierdzenie to pozwala przełożyć wszystkie wyniki dotyczące grup symetrycznych na grupy abstrakcyjne. Autorem twierdzenia jest Arthur Cayley

Twierdzenie | edytuj kod

Każda grupa zanurza się izomorficznie w grupie symetrycznej pewnego zbioru[1]. W szczególności, każda grupa skończona rzędu n {\displaystyle n} zanurza się izomorficznie w grupie symetrycznej S n {\displaystyle S_{n}} [2].

Dowód | edytuj kod

Wykażemy, że każda grupa G {\displaystyle G} jest izomorficzna z pewną podgrupą grupy permutacji S ( G ) {\displaystyle S(\mathbb {G} )} zbioru G . {\displaystyle G.}

Niech a {\displaystyle a} będzie dowolnym elementem grupy G {\displaystyle \mathbb {G} } i niech ξ a : G G , {\displaystyle \xi _{a}\colon \mathbb {G} \to \mathbb {G} ,} będzie odwzorowaniem takim, że: ξ a ( x ) = a x , {\displaystyle \xi _{a}(x)=ax,} gdzie x G . {\displaystyle x\in \mathbb {G} .}

Odwzorowanie ξ a {\displaystyle \xi _{a}} jest przekształceniem różnowartościowym, bowiem ξ a ( x ) = ξ a ( y ) a x = a y x = y . {\displaystyle \xi _{a}(x)=\xi _{a}(y)\Rightarrow ax=ay\Rightarrow x=y.} Ponadto dla dowolnego z G {\displaystyle z\in \mathbb {G} } istnieje element x G {\displaystyle x\in \mathbb {G} } taki, że ξ a ( x ) = z . {\displaystyle \xi _{a}(x)=z.} Takim elementem jest x := a 1 z . {\displaystyle x:=a^{-1}z.} Czyli ξ a {\displaystyle \xi _{a}} jest przekształceniem grupy G {\displaystyle \mathbb {G} } na siebie, tzn. ξ a S ( G ) . {\displaystyle \xi _{a}\in S(\mathbb {G} ).}

Zauważmy jeszcze, że dla ξ a , ξ b {\displaystyle \xi _{a},\xi _{b}} zachodzi ( ξ a ξ b ) ( x ) = ξ a ( ξ b ( x ) ) = ξ a ( b x ) = a ( b x ) = ( a b ) x = ξ a b ( x ) {\displaystyle (\xi _{a}\xi _{b})(x)=\xi _{a}(\xi _{b}(x))=\xi _{a}(bx)=a(bx)=(ab)x=\xi _{ab}(x)} dla dowolnego x G . {\displaystyle x\in \mathbb {G} .}

Stąd ξ a ξ b = ξ a b {\displaystyle \xi _{a}\xi _{b}=\xi _{ab}} i zbiór odwzorowań { ξ a :   a G } {\displaystyle \{\xi _{a}:\ a\in G\}} jest grupą, w której ξ e {\displaystyle \xi _{e}} jest elementem neutralnym oraz ( ξ a ) 1 = ξ a 1 . {\displaystyle (\xi _{a})^{-1}=\xi _{a^{-1}}.}

Określmy teraz odwzorowanie f : G S ( G ) {\displaystyle f\colon \mathbb {G} \to S(\mathbb {G} )} w następujący sposób:

f ( a ) = ξ a , {\displaystyle f(a)=\xi _{a},} dla a G . {\displaystyle a\in \mathbb {G} .}

Jest ono iniektywne, bowiem f ( a ) = f ( b ) ξ a = ξ b x G ( a x = b x ) a = b , {\displaystyle f(a)=f(b)\Rightarrow \xi _{a}=\xi _{b}\Rightarrow \forall _{x\in \mathbb {G} }(ax=bx)\Rightarrow a=b,} a z udowodnionej wcześniej własności wynika, że f {\displaystyle f} jest homomorfizmem, bo f ( a b ) = ξ a b = ξ a ξ b = f ( a ) f ( b ) . {\displaystyle f(ab)=\xi _{ab}=\xi _{a}\xi _{b}=f(a)f(b).}

Stąd f : G S ( G ) {\displaystyle f\colon \mathbb {G} \to S(\mathbb {G} )} jest zanurzeniem izomorficznym grupy G {\displaystyle \mathbb {G} } w grupę S ( G ) . {\displaystyle S(\mathbb {G} ).}

q.e.d.[3]

Zdefiniowany w dowodzie izomorfizm f {\displaystyle f} nazywa się niekiedy reprezentacją regularną G . {\displaystyle G.} Powyższe rozumowanie jest dowodem na to, iż działanie ξ {\displaystyle \xi } grupy G {\displaystyle G} na sobie przez mnożenie z lewej strony jest wierne.

Historia | edytuj kod

Burnside[4] przypisuje to twierdzenie Jordanowi[5], jednak Eric Nummela[6] uważa, że nazwa twierdzenie Cayleya jest właściwsza. Dziś sens twierdzenia wydaje się oczywisty, jednak to dopiero Cayley’owi udało się zunifikować dwa różne – jak wówczas uważano – pojęcia, tzn. pojęcie grupy i pojęcie grupy permutacji. I mimo że sam Cayley w swojej pracy[7] nie wykazał homomorfizmu, jego zasługi w upowszechnieniu tych pojęć na 16 lat przed Jordanem są niepodważalne.

Przypisy | edytuj kod

  1. Gleichgewicht 2004 ↓, s. 258, Twierdzenie 13.1.
  2. Gleichgewicht 2004 ↓, s. 259, Wniosek 13.1.
  3. Gleichgewicht 2004 ↓, s. 258-259, Twierdzenie 13.1 – Dowód.
  4. WilliamW. Burnside WilliamW., Theory of Groups of Finite Order, wyd. 2 ed., Cambridge, 1911, ISBN 0-486-49575-2 .
  5. CamilleC. Jordan CamilleC., Traite des substitutions et des equations algebriques, Paris: Gauther-Villars, 1870 .
  6. Eric C.E.C. Nummela Eric C.E.C., Cayley’s Theorem for Topological Groups, „American Mathematical Monthly”, 87 (3), Mathematical Association of America, 1980, s. 202–203, DOI10.2307/2321608, JSTOR2321608  (ang.).
  7. ArthurA. Cayley ArthurA., On the theory of groups as depending on the symbolic equation θn=1, „Philosophical Magazine”, 7 (42), 1854, s. 40–47 .

Bibliografia | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Twierdzenie Cayleya" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy