Twierdzenie Noether


Twierdzenie Noether w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Pierwsza strona artykułu „Invariante Variationsprobleme” (1918), w którym Noether dowiodła swojego twierdzenia.

Twierdzenie Noether – twierdzenie udowodnione przez Emmy Noether, dotyczące związku zasad zachowania z symetriami ciągłymi. Ma fundamentalne znaczenie w fizyce.

Spis treści

Symetrie ciągłe, grupy symetrii, generatory, grupy Liego | edytuj kod

(1) Symetrie ciągłe to np. obroty, translacje.

(2) Symetrie tworzą grupę.

(3) Każda symetria jest opisana jednym parametrem i jednym generatorem.

(4) Generatory grupy symetrii tworzą grupę, tzw. grupę Liego.

Spośród grup symetrii ważną rolę w fizyce odgrywają:

  • grupa obrotów w przestrzeni euklidesowej SO(n)
  • grupa translacji w przestrzeni euklidesowej
  • grupa transformacji ortogonalnych w przestrzeni euklidesowej O(n)
  • grupa Lorentza obrotów w przestrzeni pseudoeuklidesowej
  • grupa Poincarégo
  • grupa przekształceń unitarnych U(n) oraz SU(n).

Twierdzenie Noether | edytuj kod

Każda ciągła symetria praw fizyki, czyli taka, która nie zmienia

generuje tyle praw zachowania, ile jest

  • niezależnych parametrów opisujących daną grupę Liego lub
  • generatorów grupy Liego.

Symetrie dyskretne | edytuj kod

Symetrie dyskretne mogą generować prawa zachowania (np. symetria inwersji x x {\displaystyle x\mapsto -x} generuje zachowanie parzystości P {\displaystyle P} ), ale nie muszą (np. inwersja w czasie t t {\displaystyle t\mapsto -t} nie generuje prawa zachowania).

Przykład: symetrie ciągłe | edytuj kod

W mechanice klasycznej obowiązują np. zasady zachowania energii, pędu i momentu pędu. Te trzy zasady można traktować jako konsekwencje odpowiednich symetrii:

(1) Zasada zachowania energii wynika z niezmienniczości działania względem przesunięcia w czasie: jeżeli działanie S opisujące dany ruch układu nie zależy od czasu, to energia układu jest zachowana. Jeżeli natomiast układ absorbuje lub emituje energię, to wówczas działanie jest funkcją czasu – w konsekwencji energia układu zmienia się.

(2) Zasada zachowania pędu odzwierciedla niezmienniczość działania S (oraz równań ruchu opisujących układ) względem przesunięcia układu w przestrzeni. Gdy rozpatrujemy translacje w przestrzeni Minkowskiego, to zasadę zachowania pędu określa się jako zachowanie tensora energii-pędu.

(3) Zasada zachowania momentu pędu wiąże się z niezmienniczością działania S (oraz równań ruchu opisujących układ) względem obrotu układu. Jeśli obroty rozpatrujemy w przestrzeni Minkowskiego, to zasada ta oznacza zachowanie całkowitego momentu pędu, tzn. włącznie ze spinowym (Patrz np. równanie Diraca, operator spinu)

(4) Zasada zachowanie ładunku wynika z niezmienniczości funkcji falowej elektronu względem transformacji cechowania, takiej że:

ψ ( x , t ) ψ ( x , t ) = e i α ψ ( x , t ) {\displaystyle \psi ({\vec {x}},t)\mapsto \psi '({\vec {x}},t)=e^{i\alpha }\psi ({\vec {x}},t)}

Transformacje e i α {\displaystyle e^{i\alpha }} generowane są przez ciągły kąt α . {\displaystyle \alpha .} Istnieje więc jeden generator, który tworzy prostą grupę Liego jednowymiarowych macierzy unitarnych U ( 1 ) . {\displaystyle U(1).} Gdy zmiana kąta w czasie i przestrzeni α ( x , t ) {\displaystyle \alpha ({\vec {x}},t)} nie zmienia podstawowych praw fizyki, to lokalna grupa cechowania U ( 1 ) {\displaystyle U(1)} wskazuje na istnienie fundamentalnego oddziaływania elektromagnetycznego.

Zobacz też | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Twierdzenie Noether" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy