Twierdzenie Toeplitza


Twierdzenie Toeplitza w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Twierdzenie Toeplitza (nazywane również twierdzeniem Toeplitza o regularnym przekształceniu ciągu) zostało sformułowane w 1911 roku przez matematyka niemieckiego Ottona Toeplitza[1]. Mówi ono o zbieżności szeregu powstałego przez pewne przekształcenie zbieżnego ciągu liczb rzeczywistych.

Spis treści

Przykład | edytuj kod

Zachodzi następujące twierdzenie

Niech ( t n ) {\displaystyle (t_{n})} będzie zbieżnym do t {\displaystyle t} ciągiem liczb rzeczywistych. Wtedy zbieżny jest również ciąg ( t 1 + t 2 + + t n n ) {\displaystyle \left({\tfrac {t_{1}+t_{2}+\ldots +t_{n}}{n}}\right)} i ma granicę równą t . {\displaystyle t.}

Dowód. Skoro t n t {\displaystyle t_{n}\to t} dla n , {\displaystyle n\to \infty ,} to dla dowolnego ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} istnieje liczba naturalna k , {\displaystyle k,} taka że | t n t | < ε , {\displaystyle |t_{n}-t|<\varepsilon ,} dla n > k . {\displaystyle n>k.} Stąd t ε < t i < t + ε {\displaystyle t-\varepsilon <t_{i}<t+\varepsilon } dla i = k + 1 , k + 2 , , n . {\displaystyle i=k+1,k+2,\dots ,n.} Sumując stronami powyższe nierówności, a następnie dzieląc przez n k {\displaystyle n-k} otrzymujemy

(*)   t ε < t k + 1 + t k + 2 + + t n n k < t + ε . {\displaystyle t-\varepsilon <{\frac {t_{k+1}+t_{k+2}+\ldots +t_{n}}{n-k}}<t+\varepsilon .}

Ponadto oczywiście t 1 + t 2 + + t k n 0 {\displaystyle {\tfrac {t_{1}+t_{2}+\ldots +t_{k}}{n}}\to 0} gdy n , {\displaystyle n\to \infty ,} co w połączeniu z (*) implikuje tezę.

Zauważmy, że wyrazy ciągu ( t 1 + t 2 + + t n n ) {\displaystyle \left({\tfrac {t_{1}+t_{2}+\ldots +t_{n}}{n}}\right)} możemy zapisać jako k = 1 n 1 n t k . {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\tfrac {1}{n}}t_{k}.} Naturalnym wydaje się pytanie, kiedy ciągi ( s n ) {\displaystyle (s_{n})} o wyrazach postaci s n = k = 1 n a k , n t k {\displaystyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k,n}t_{k}} będą zbieżne i czy ich granicą będzie t . {\displaystyle t.}

Twierdzenie Toeplitza | edytuj kod

Niech ( a k , n ) {\displaystyle (a_{k,n})} będzie nieskończonym układem liczb rzeczywistych, przy czym 1 k n . {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant n.} Ponadto niech ( t n ) {\displaystyle (t_{n})} będzie zbieżnym ciągiem liczb rzeczywistych o granicy t . {\displaystyle t.} Jeśli spełnione są poniższe warunki

(1)   a k , n 0 {\displaystyle a_{k,n}\to 0} dla n {\displaystyle n\to \infty } i dowolnie ustalonej liczby naturalnej k , {\displaystyle k,} (2)   k = 1 n a k , n 1 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{k,n}\to 1} dla n , {\displaystyle n\to \infty ,} (3)   k = 1 n | a k , n | M {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|a_{k,n}|\leqslant M} dla pewnej liczby M > 0 {\displaystyle M>0} oraz wszystkich n , {\displaystyle n,}

to ciąg ( s n ) , {\displaystyle (s_{n}),} określony wzorem s n = k = 1 n a k , n t k {\displaystyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k,n}t_{k}} dla n 1 {\displaystyle n\geqslant 1} jest zbieżny do t . {\displaystyle t.}

Twierdzenie odwrotne | edytuj kod

Zachodzi również twierdzenie odwrotne.

Niech ( a k , n ) {\displaystyle (a_{k,n})} będzie nieskończonym układem liczb rzeczywistych, przy czym 1 k n . {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant n.} Jeśli dla każdego zbieżnego ciągu liczb rzeczywistych ( t n ) , {\displaystyle (t_{n}),} ciąg ( s n ) {\displaystyle (s_{n})} określony wzorem s n = k = 1 n a k , n t k {\displaystyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k,n}t_{k}} jest zbieżny do granicy ciągu ( t n ) , {\displaystyle (t_{n}),} to

(1)   a k , n 0 {\displaystyle a_{k,n}\to 0} dla n {\displaystyle n\to \infty } i dowolnie ustalonej liczby naturalnej k , {\displaystyle k,} (2)   k = 1 n a k , n 1 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{k,n}\to 1} dla n , {\displaystyle n\to \infty ,} (3)   istnieje liczba M > 0 , {\displaystyle M>0,} taka że k = 1 n | a k , n | M {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|a_{k,n}|\leqslant M} dla wszystkich n . {\displaystyle n.}

Przypisy | edytuj kod

  1. O. Toeplitz, Über die lineare Mittelbildungen, Prace mat.-fiz., 22, strony 113-118.
Na podstawie artykułu: "Twierdzenie Toeplitza" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy