Twierdzenie o przyrostach


Twierdzenie o przyrostach w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Twierdzenie o przyrostach – uogólnienie twierdzenia Lagrange’a na funkcje o wartościach w przestrzeniach unormowanych.

Twierdzenie | edytuj kod

Niech Y {\displaystyle Y} będzie przestrzenią unormowaną oraz f : a , b Y {\displaystyle f\colon [a,b]\to Y} będzie funkcją ciągłą, różniczkowalną wewnątrz tego przedziału. Jeżeli istnieje taka nieujemna liczba M , {\displaystyle M,} że

d f ( x ) M {\displaystyle \|df(x)\|\leqslant M} dla każdego x ( a , b ) , {\displaystyle x\in (a,b),}

to

f ( b ) f ( a ) M ( b a ) {\displaystyle \|f(b)-f(a)\|\leqslant M(b-a)}

Można również sformułować twierdzenie analogiczne do twierdzenia Cauchy’ego. Dokładniej:

Niech Y {\displaystyle Y} będzie przestrzenią unormowaną oraz f : a , b Y {\displaystyle f\colon [a,b]\to Y} oraz g : a , b R {\displaystyle g\colon [a,b]\to \mathbb {R} } są ciągłe i różniczkowalne wewnątrz tego przedziału. Jeżeli

d f ( x ) g ( x ) , {\displaystyle \|df(x)\|\leqslant g'(x),}

to

f ( b ) f ( a ) g ( b ) g ( a ) . {\displaystyle \|f(b)-f(a)\|\leqslant g(b)-g(a).}

Bibliografia | edytuj kod

  • Witold Kołodziej: Analiza matematyczna. Warszawa: PWN, 1979.
Na podstawie artykułu: "Twierdzenie o przyrostach" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy