Twierdzenie o reprezentacji dla krat rozdzielnych


Twierdzenie o reprezentacji dla krat rozdzielnych w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Odwzorowanie Stone’a

Niech K {\displaystyle {\mathcal {K}}} będzie kratą rozdzielną i niech S K = { F | K | : F  jest filtrem pierwszym } . {\displaystyle {\mathcal {S}}_{\mathcal {K}}=\{F\subseteq |{\mathcal {K}}|\colon \,F{\text{ jest filtrem pierwszym}}\;\}.} Niech dalej

Φ ( a ) := { F S K : a F } , a | K | . {\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(a):=\{F\in {\mathcal {S}}_{\mathcal {K}}\colon \;a\in F\,\}\;,\quad a\in |{\mathcal {K}}|.}

Odwzorowanie Φ : K ( S K ) {\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}\colon {\mathcal {K}}\to \wp {\big (}{\mathcal {S}}_{\mathcal {K}}{\big )}} nazywamy odwzorowaniem Stone’a.

Dowód twierdzenia o reprezentacji | edytuj kod

Pokażemy, że odwzorowanie Stone’a jest monomorfizmem kraty K {\displaystyle {\mathcal {K}}} w kratę mnogościową na zbiorze ( S K ) . {\displaystyle \wp {\big (}{\mathcal {S}}_{\mathcal {K}}{\big )}.}

Różnowartościowość

Niech a b , a , b | K | . {\displaystyle a\neq b,\,a,b\in |{\mathcal {K}}|.} Bez straty ogólności możemy założyć, że a ̸ b , {\displaystyle a\not \leqslant b,} wówczas z twierdzenia o filtrze pierwszym, istnieje filtr pierwszy F , {\displaystyle F,} dla którego a F {\displaystyle a\in F} i b F . {\displaystyle b\not \in F.} Wówczas F Φ ( a ) Φ ( b ) , {\displaystyle F\in {\boldsymbol {\Phi }}(a)\setminus {\boldsymbol {\Phi }}(b),} czyli Φ ( a ) Φ ( b ) . {\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(a)\neq {\boldsymbol {\Phi }}(b).}

Zgodność z działaniami

Mamy:

F Φ ( a b ) a b F a , b F F Φ ( a ) Φ ( b ) , {\displaystyle F\in {\boldsymbol {\Phi }}(a\sqcap b)\;\Leftrightarrow \;a\sqcap b\in F\;\Leftrightarrow \;a,b\in F\;\Leftrightarrow \;F\in {\boldsymbol {\Phi }}(a)\cap {\boldsymbol {\Phi }}(b),}

skąd

Φ ( a b ) = Φ ( a ) Φ ( b ) . {\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(a\sqcap b)={\boldsymbol {\Phi }}(a)\cap {\boldsymbol {\Phi }}(b).}

Dalej:

F Φ ( a b ) a b F a F b F F Φ ( a ) Φ ( b ) , {\displaystyle F\in {\boldsymbol {\Phi }}(a\sqcup b)\;\Leftrightarrow \;a\sqcup b\in F\;\Leftrightarrow \;a\in F\,\vee \,b\in F\;\Leftrightarrow \;F\in {\boldsymbol {\Phi }}(a)\cup {\boldsymbol {\Phi }}(b),}

skąd

Φ ( a b ) = Φ ( a ) Φ ( b ) . {\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(a\sqcup b)={\boldsymbol {\Phi }}(a)\cup {\boldsymbol {\Phi }}(b).}

To kończy dowód.

Uwagi | edytuj kod

Rodzina Φ ` ` | H | {\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}{\grave {}}\,{\grave {}}|{\mathcal {H}}|} jest bazą pewnej przestrzeni topologicznej na S K . {\displaystyle {\mathcal {S}}_{\mathcal {K}}.} Przestrzeń tę nazywa się przestrzenią Strone’a. Jak widać, odwzorowanie Stone’a jako wartości przyjmuje zbiory otwarte w tej przestrzeni i dlatego twierdzenie o reprezentacji krat rozdzielnych można sformułować następująco:

dowolna krata rozdzielna jest izomorficzna z podkratą kraty zbiorów otwartych pewnej przestrzeni topologicznej

W przypadku, gdy K {\displaystyle {\mathcal {K}}} jest reduktem algebry Boole’a, przestrzeń Stone’a jest zerowymiarową zwartą przestrzenią Hausdorffa (p. twierdzenie o reprezentacji algebr Heytinga).

Przykład | edytuj kod

Krata rozdzielna i jej filtry Jej obraz w reprezentacji Stone’a
Na podstawie artykułu: "Twierdzenie o reprezentacji dla krat rozdzielnych" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy