Twierdzenie o residuach


Twierdzenie o residuach w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Twierdzenie o residuachtwierdzenie analizy zespolonej dostarczające metody obliczania wartości całek krzywoliniowych funkcji meromorficznych. Uogólnia ono twierdzenie Cauchy’ego (orzekające, że całka po drodze zamkniętej z funkcji holomorficznej jest równa zeru). Twierdzenie o residuach umożliwia obliczenie niektórych bardziej złożonych całek rzeczywistych.

Twierdzenie | edytuj kod

Ilustracja założeń twierdzenia

Niech U {\displaystyle U} będzie obszarem jednospójnym na płaszczyźnie zespolonej C , {\displaystyle \mathbb {C} ,} a ponadto a 1 , , a n U {\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in U} oraz f : U { a 1 , , a n } C {\displaystyle f:U\setminus \{a_{1},\dots ,a_{n}\}\longrightarrow {\mathbb {C} }} będzie funkcją holomorficzną.

Jeżeli γ {\displaystyle \gamma } jest zamkniętą krzywą prostowalną zawartą w U { a 1 , , a n } , {\displaystyle U\setminus \{a_{1},\dots ,a_{n}\},} to

γ f ( z ) d z = 2 π i k = 1 n I ( γ , a k ) Res ( f , a k ) . {\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {I} (\gamma ,a_{k})\operatorname {Res} (f,a_{k}).}

Jeśli γ {\displaystyle \gamma } jest krzywą Jordana, to I ( γ , a k ) = 1 {\displaystyle \operatorname {I} (\gamma ,a_{k})=1} więc

γ f ( z ) d z = 2 π i k = 1 n Res ( f , a k ) . {\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Res} (f,a_{k}).}

Powyżej, Res ( f , a k ) {\displaystyle \operatorname {Res} (f,a_{k})} oznacza residuum funkcji f w a k , {\displaystyle a_{k},} a I ( γ , a k ) {\displaystyle \operatorname {I} (\gamma ,a_{k})} to indeks punktu a k {\displaystyle a_{k}} względem krzywej γ . {\displaystyle \gamma .}

Zobacz też | edytuj kod

Bibliografia | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Twierdzenie o residuach" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy