Wahanie funkcji


Wahanie funkcji w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Wahaniem funkcji f : a , b R {\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} } na przedziale a , b {\displaystyle [a,b]} nazywamy wielkość

V b a ( f ) = sup i = 0 n 1 | f ( x i + 1 ) f ( x i ) | . {\displaystyle V_{b}^{a}(f)=\sup \sum _{i=0}^{n-1}|f(x_{i+1})-f(x_{i})|.}

gdzie supremum jest brane po wszystkich podziałach P = { a = x 0 < < x n = b } {\displaystyle P=\{a=x_{0}<\dots <x_{n}=b\}} przedziału a , b . {\displaystyle [a,b].} Jeśli funkcja f : a , b R {\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} } ma skończone wahanie, to mówimy, że f {\displaystyle f} jest funkcją o wahaniu skończonym.

Każda funkcja o wahaniu skończonym daje się przedstawić jako różnica dwóch funkcji niemalejących. Stąd wynika, że funkcje o wahaniu skończonym mają jedynie przeliczalnie wiele punktów nieciągłości i są różniczkowalne prawie wszędzie.

Przykłady | edytuj kod

Jeśli funkcja f : a , b R {\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} } jest monotoniczna, to V b a ( f ) = | f ( b ) f ( a ) | . {\displaystyle V_{b}^{a}(f)=\vert f(b)-f(a)\vert .}

Jeśli f {\displaystyle f} jest funkcją charakterystyczną zbioru Q 0 , 1 {\displaystyle \mathbb {Q} \cap [0,1]} wszystkich liczb wymiernych z przedziału 0 , 1 , {\displaystyle [0,1],} to V 0 1 ( f ) = . {\displaystyle V_{0}^{1}(f)=\infty .}

Niech f : 0 , 1 R {\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {R} } będzie dana wzorem f ( x ) = x sin ( π / x ) {\displaystyle f(x)=x\sin(\pi /x)} dla x ( 0 , 1 {\displaystyle x\in (0,1]} i f ( 0 ) = 0. {\displaystyle f(0)=0.} Wówczas f {\displaystyle f} jest funkcją ciągłą, która nie ma wahania skończonego.

Natomiast funkcja f : 0 , 1 R {\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {R} } dana wzorem f ( x ) = x 2 sin ( π / x ) {\displaystyle f(x)=x^{2}\sin(\pi /x)} dla x ( 0 , 1 {\displaystyle x\in (0,1]} i f ( 0 ) = 0 {\displaystyle f(0)=0} ma wahanie skończone.

Na podstawie artykułu: "Wahanie funkcji" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy