Wektor jednostkowy


Wektor jednostkowy w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Wersorwektor jednostkowy (także unormowany).

Spis treści

Definicja formalna | edytuj kod

Niech ( X , ) {\displaystyle (X,\|\cdot \|)} będzie przestrzenią unormowaną. Wersorem x {\displaystyle x^{\circ }} niezerowego wektora x X {\displaystyle x\in X} nazywamy wektor

x = x x . {\displaystyle x^{\circ }={\frac {x}{\|x\|}}.}

Oczywiście x lin ( x ) {\displaystyle x^{\circ }\in \operatorname {lin} (x)} oraz x = 1. {\displaystyle \|x^{\circ }\|=1.}

W przestrzeniach współrzędnych wersor danego wektora zachowuje jego kierunek oraz zwrot.

Wersor osi | edytuj kod

Wersorem osi nazywamy wektor długości (normie) 1 o kierunku i zwrocie zgodnym z pewną dodatnią półosią prostokątnego układu współrzędnych. Dla osi O X , O Y , O Z {\displaystyle OX,OY,OZ} oznacza się je tradycyjnie na kilka sposobów:

  • symbolami i , j , k , {\displaystyle i,j,k,}
  • e 1 , e 2 , e 3 , {\displaystyle e_{1},e_{2},e_{3},}
  • e x , e y , e z , {\displaystyle e_{x},e_{y},e_{z},}
  • ε 1 , ε 2 , ε 3 . {\displaystyle \varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\varepsilon _{3}.}

Przykłady | edytuj kod

  • W przestrzeni euklidesowej R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} ze zwykłym iloczynem skalarnym wersorem wektora x = 2 3 4 {\displaystyle \mathbf {x} =\left[{\begin{smallmatrix}2\\3\\4\end{smallmatrix}}\right]} jest wektor x = 1 2 2 + 3 2 + 4 2 2 3 4 = 2 29 3 29 4 29 . {\displaystyle \mathbf {x} ^{\circ }={\frac {1}{\sqrt {2^{2}+3^{2}+4^{2}}}}\left[{\begin{smallmatrix}2\\3\\4\end{smallmatrix}}\right]=\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {2}{\sqrt {29}}}\\{\frac {3}{\sqrt {29}}}\\{\frac {4}{\sqrt {29}}}\end{smallmatrix}}\right].}
  • W przestrzeni R 2 X {\displaystyle \mathbb {R} _{2}[X]} (tj. przestrzeni wielomianów stopnia nie większego niż 2 zmiennej rzeczywistej) z iloczynem skalarnym f , g = 1 1 f ( x ) g ( x ) d x {\displaystyle \langle f,g\rangle =\int \limits _{-1}^{1}f(x)g(x)dx} i normą f = f , f {\displaystyle \|f\|={\sqrt {\langle f,f\rangle }}} wersorem wektora f ( X ) = X 2 + X + 1 {\displaystyle f(X)=X^{2}+X+1} jest wektor
f ( X ) = X 2 + X + 1 1 1 ( X 2 + X + 1 ) ( X 2 + X + 1 ) d X = X 2 + X + 1 22 5 = 5 22 X 2 + 5 22 X + 5 22 . {\displaystyle f^{\circ }(X)={\frac {X^{2}+X+1}{\sqrt {\int \limits _{-1}^{1}(X^{2}+X+1)(X^{2}+X+1)dX}}}={\frac {X^{2}+X+1}{\sqrt {\tfrac {22}{5}}}}={\sqrt {\tfrac {5}{22}}}X^{2}+{\sqrt {\tfrac {5}{22}}}X+{\sqrt {\tfrac {5}{22}}}.}

Zobacz też | edytuj kod

Uwagi | edytuj kod

  • Baza ortogonalna złożona z wersorów jest bazą ortonormalną.
  • W fizyce zamiast x {\displaystyle x^{\circ }} stosuje się zapis e x {\displaystyle {\vec {e}}_{x}} lub x ^ . {\displaystyle {\hat {x}}.}
Na podstawie artykułu: "Wektor jednostkowy" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy