Liczby niewymierne


Liczby niewymierne w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Liczby niewymierneliczby rzeczywiste niebędące liczbami wymiernymi, czyli takie liczby rzeczywiste, których nie można przedstawić w postaci ilorazu liczby całkowitej i liczby całkowitej różnej od zera. Liczby niewymierne wypełniają luki w przekrojach Dedekinda zbioru liczb wymiernych Q {\displaystyle \mathbb {Q} } dając w efekcie przestrzeń zupełną.

Międzynarodowym symbolem zbioru jest I Q . {\displaystyle \mathbb {I} \mathbb {Q} .}

Rozwinięcie dziesiętne liczby niewymiernej jest nieskończone i nieokresowe.

Spis treści

Historia | edytuj kod

Liczby niewymierne odkryli Pitagorejczycy, w związku z twierdzeniem Pitagorasa. Zauważyli oni mianowicie, że przekątna kwadratu o boku 1 jest niewspółmierna z bokiem, co właśnie oznacza niewymierność liczby 2 . {\displaystyle {\sqrt {2}}.}

Przykłady | edytuj kod

  • Pierwiastek arytmetyczny drugiego stopnia z liczby naturalnej jest liczbą wymierną wtedy i tylko wtedy, gdy liczba ta jest kwadratem liczby całkowitej. Zatem na przykład 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} oraz 99992 {\displaystyle {\sqrt {99992}}} są liczbami niewymiernymi (zobacz dowód niewymierności pierwiastka z 2).
  • Każda liczba przestępna jest niewymierna. Taką liczbą jest np. liczba π, innym przykładem jest 0,123456789101112131415... (zapisy dziesiętne kolejnych liczb naturalnych).
  • Łatwo udowodnić niewymierność wielu logarytmów np. log 10 2 , {\displaystyle \log _{10}2,} log 2 3. {\displaystyle \log _{2}3.} Dowód nie wprost dla log 2 3. {\displaystyle \log _{2}3.} Gdyby dla pewnych liczb całkowitych dodatnich m {\displaystyle m} oraz n {\displaystyle n} zachodziła równość log 2 3 = m n , {\displaystyle \log _{2}3={\frac {m}{n}},} to mielibyśmy 2 m n = 3 , {\displaystyle 2^{\frac {m}{n}}=3,} i wobec tego także 2 m = 3 n {\displaystyle 2^{m}=3^{n}} – ale ta równość jest fałszywa, gdyż lewa strona jest parzysta, a prawa nieparzysta, zatem log 2 3 {\displaystyle \log _{2}3} nie jest wymierny.

Ułamki łańcuchowe | edytuj kod

Każdą liczbę niewymierną można rozwinąć w nieskończony ułamek łańcuchowy; skończone ułamki łańcuchowe przedstawiają liczby wymierne.

Zbiór liczb niewymiernych | edytuj kod

Jako podprzestrzeń linii prostej R , {\displaystyle \mathbb {R} ,} zbiór liczb niewymiernych jest homeomorficzny z przestrzenią Baire’a, czyli ze zbiorem wszystkich funkcji f : N N . {\displaystyle f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} .}

Zobacz też | edytuj kod

Kontrola autorytatywna (rodzaj liczby):
Na podstawie artykułu: "Liczby niewymierne" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy