Odejmowanie


Odejmowanie w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Odejmowanie – jedno z czterech podstawowych działań arytmetycznych, działanie odwrotne do dodawania. Odejmowane obiekty to odpowiednio odjemna i odjemnik, wynik zaś nazywany jest różnicą.

Odejmowanie oznaczane jest zwyczajowo znakiem minusa. Znak ten zbliżony jest do półpauzy, krótszy od pauzy (oba służą oznaczaniu myślnika), a dłuższy od dywizu (łącznika).

Spis treści

Odejmowanie liczb | edytuj kod

Najczęściej używane jest odejmowanie liczb, np. 3 2 = 1 , {\displaystyle 3-2=1,} co czyta się: „trzy minus dwa równa się jeden” albo „trzy odjąć dwa równa się jeden”.

Odejmowanie pisemne liczb naturalnych | edytuj kod

Poniżej podany jest przykład obliczania różnicy dwóch trzycyfrowych liczb: 654 {\displaystyle 654} i 273. {\displaystyle 273.} Piszemy drugą liczbę pod pierwszą, a cyfry ustawiamy w kolumnach wyrównując je do prawej; pod drugą liczbą rysujemy linię:

6 5 4 2 7 3 {\displaystyle {\begin{array}{r}&6&5&4\\-&2&7&3\\\hline {}\end{array}}}

Cyfrą jedności 654 {\displaystyle 654} jest 4 ; {\displaystyle 4;} cyfrą jedności 273 {\displaystyle 273} jest 3. {\displaystyle 3.} Obliczamy 4 3 = 1 , {\displaystyle 4-3=1,} więc na pozycji jedności pod kreską piszemy 1 : {\displaystyle 1{:}}

6 5 4 2 7 3 1 {\displaystyle {\begin{array}{r}&6&5&4\\-&2&7&3\\\hline &&&1\end{array}}}

Cyfrą dziesiątek 654 {\displaystyle 654} jest 5 ; {\displaystyle 5;} cyfrą dziesiątek 273 {\displaystyle 273} jest 7. {\displaystyle 7.} Ponieważ 5 < 7 {\displaystyle 5<7} i wynik wyszedłby ujemny „pożyczamy” 1 {\displaystyle 1} z następnej pozycji. Oznacza to, że teraz dodajemy 10 , {\displaystyle 10,} a przy następnej cyfrze odejmiemy 1. {\displaystyle 1.} Mamy zatem 15 7 = 8 ; {\displaystyle 15-7=8;} piszemy 8 {\displaystyle 8} pod kreską na kolejnym od prawej miejscu, a 1 {\displaystyle 1} pożyczamy z kolumny setek, co można sobie zanotować na boku:

1 6 5 4 2 7 3 8 1 {\displaystyle {\begin{array}{r}&-1\\&6&5&4\\-&2&7&3\\\hline &&8&1\end{array}}}

Pozostała kolumna setek: odejmujemy 6 2 1 {\displaystyle 6-2-1} (ten 1 to „pożyczka”) z trzeciej kolumny, otrzymując 3 , {\displaystyle 3,} piszemy 3 {\displaystyle 3} w kolumnie setek pod kreską:

1 6 5 4 2 7 3 3 8 1 {\displaystyle {\begin{array}{r}&-1\\&6&5&4\\-&2&7&3\\\hline &3&8&1\end{array}}}

otrzymując wynik 654 273 = 381. {\displaystyle 654-273=381.}

W ten sposób odejmuje się zawsze mniejszą liczbę od większej. Jeśli chcemy odjąć większą od mniejszej, zamieniamy je, odejmujemy, a na koniec przed wynikiem stawiamy znak minusa (gdyż wynik będzie wtedy liczbą ujemną). Na przykład chcąc obliczyć 23 54 , {\displaystyle 23-54,} obliczamy 54 23 = 31 , {\displaystyle 54-23=31,} a następnie dostawiamy minus otrzymując 23 54 = ( 31 ) . {\displaystyle 23-54=(-31).}

Ten sam algorytm może służyć do odejmowania liczb w dowolnym systemie pozycyjnym.

Odejmowanie liczb całkowitych | edytuj kod

Możliwe są cztery przypadki, różniące się znakiem odejmowanych liczb:

  • Jeśli obydwie są nieujemne, odejmujemy je tak jak liczby naturalne powyżej. Znak różnicy zależy od tego, czy większa jest odjemna, czy odjemnik.
  • Jeśli obydwie są ujemne (oznaczmy je a {\displaystyle -a} i b {\displaystyle -b} ), to wynikiem jest różnica ich wartości bezwzględnych a {\displaystyle a} i b {\displaystyle b} zapisanych w odwrotnej kolejności: ( a ) ( b ) = b a . {\displaystyle (-a)-(-b)=b-a.} Tu również znak zależy od tego, czy większa jest odjemna, czy odjemnik.
  • Jeśli pierwsza liczba jest nieujemna ( a ) {\displaystyle (a)} a druga ujemna ( b ) , {\displaystyle (-b),} to odejmowanie sprowadza się do dodawania ich wartości bezwzględnych: a ( b ) = a + b . {\displaystyle a-(-b)=a+b.}
  • Jeśli pierwsza liczba jest ujemna ( a ) {\displaystyle (-a)} a druga nieujemna ( b ) , {\displaystyle (b),} to odejmowanie sprowadza się do dodania ich wartości bezwzględnych i zmiany znaku wyniku: a b = ( a + b ) . {\displaystyle -a-b=-(a+b).}

Zamiast tych reguł wystarczy pamiętać jedną: odjąć liczbę b {\displaystyle b} – to znaczy dodać przeciwną do niej liczbę b . {\displaystyle -b.}

Odejmowanie ułamków | edytuj kod

Dla liczb wymiernych a b {\displaystyle {\frac {a}{b}}} i c d {\displaystyle {\frac {c}{d}}} odejmowanie wymaga najpierw tzw. sprowadzenia do wspólnego mianownika, czyli takiego przekształcenia tych ułamków, aby ich mianowniki były równe.

Wówczas można zastosować wzór:

k m l m = k l m . {\displaystyle {\frac {k}{m}}-{\frac {l}{m}}={\frac {k-l}{m}}.}

Najmniejszym wspólnym mianownikiem, jaki można tu zastosować, jest najmniejsza wspólna wielokrotność mianowników odjemnej i odjemnika.

Przykład:

3 4 1 6 = 3 × 3 4 × 3 1 × 2 6 × 2 = 9 12 2 12 = 9 2 12 = 7 12 . {\displaystyle {\frac {3}{4}}-{\frac {1}{6}}={\frac {3\times 3}{4\times 3}}-{\frac {1\times 2}{6\times 2}}={\frac {9}{12}}-{\frac {2}{12}}={\frac {9-2}{12}}={\frac {7}{12}}.}

Można też wykorzystać fakt, że sprowadzenie do wspólnego mianownika najłatwiej wykonać mnożąc licznik i mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka, a licznik i mianownik drugiego ułamka przez mianownik pierwszego. Odejmowanie sprowadza się wtedy do wzoru:

a b c d = a d b d c b d b = a d c b b d . {\displaystyle {\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {ad}{bd}}-{\frac {cb}{db}}={\frac {ad-cb}{bd}}.}

Przykład:

3 4 1 6 = 3 × 6 4 × 6 1 × 4 6 × 4 = 3 × 6 1 × 4 4 × 6 = 14 24 = 7 12 . {\displaystyle {\frac {3}{4}}-{\frac {1}{6}}={\frac {3\times 6}{4\times 6}}-{\frac {1\times 4}{6\times 4}}={\frac {3\times 6-1\times 4}{4\times 6}}={\frac {14}{24}}={\frac {7}{12}}.}

W przypadku odejmowania pisemnego ułamków dziesiętnych należy przesunąć obydwie liczby tak, aby przecinek dziesiętny był w tym samym miejscu:

1 2 , 5 5 , 8 1 6 , 6 9 {\displaystyle {\begin{array}{r}&1&2,&5&\\-&&5,&8&1\\\hline &&6,&6&9\end{array}}}

Definicja formalna | edytuj kod

Formalnie odejmowanie definiowane jest jako działanie odwrotne do dodawania:

a b = c a = b + c . {\displaystyle a-b=c\Leftrightarrow a=b+c.}

Działanie odejmowania można także zdefiniować osobno dla każdego rodzaju liczb:

  • odejmowanie dwóch liczb całkowitych a b {\displaystyle a-b} i c d {\displaystyle c-d} (gdzie a , b , c , d N {\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {N} } ) określone jest wzorem
( a b ) ( c d ) = ( a + d ) ( b + c ) ; {\displaystyle (a-b)-(c-d)=(a+d)-(b+c);} a b c d = a d b c b d {\displaystyle {\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {ad-bc}{bd}}} (w ogólności wzór ten jest definicją odejmowania w dowolnym ciele ułamków);
  • odejmowanie dwóch liczb rzeczywistych jest określone następująco: jeżeli a n {\displaystyle a_{n}} jest ciągiem Cauchy’ego zbieżnym do A , {\displaystyle A,} a b n {\displaystyle b_{n}} jest zbieżnym do B {\displaystyle B} to ciąg c n = a n b n {\displaystyle c_{n}=a_{n}-b_{n}} jest ciągiem liczb wymiernych zbieżnym do C = A B ; {\displaystyle C=A-B;}
  • odejmowanie dwóch liczb zespolonych określone jest wzorem
( a + b i ) ( c + d i ) = ( a c ) + ( b d ) i ; {\displaystyle (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;} ( a + b i + c j + d k ) ( p + q i + r j + s k ) = ( a p ) + ( b q ) i + ( c r ) j + ( d s ) k . {\displaystyle (a+bi+cj+dk)-(p+qi+rj+sk)=(a-p)+(b-q)i+(c-r)j+(d-s)k.}

Własności różnicy wynikające z własności odjemnej i odjemnika | edytuj kod

Kolejność wykonywania działań | edytuj kod

Odejmowanie wykonujemy od lewej do prawej:

a b c d = ( ( a b ) c ) d . {\displaystyle a-b-c-d=((a-b)-c)-d.}

Kolejność wykonywania odejmowania ma znaczenie (odejmowanie nie jest łączne):

( 4 3 ) 2 = 1 2 = 1 , {\displaystyle (4-3)-2=1-2=-1,}

ale

4 ( 3 2 ) = 4 1 = 3. {\displaystyle 4-(3-2)=4-1=3.}

Odejmowanie nie jest również przemienne, zamiana argumentów zmienia znak różnicy:

10 4 = 6 , {\displaystyle 10-4=6,}

ale

4 10 = 6. {\displaystyle 4-10=-6.}

Różnica funkcji | edytuj kod

Różnicę funkcji f , g : X Y , {\displaystyle f,g\colon X\to Y,} gdzie Y {\displaystyle Y} jest pewnym zbiorem ze dodawaniem jako działaniem wewnętrznym (czyli grupą czy, w szczególności, przestrzenią liniową) definiuje się jako

( f g ) ( x ) = f ( x ) g ( x ) {\displaystyle (f-g)(x)=f(x)-g(x)} dla wszystkich x X . {\displaystyle x\in X.}

Przykłady użycia:

  • Traktując macierze jako funkcje można określić w ten sposób działanie odejmowania macierzy. Aby odjąć dwie macierze wystarczy odjąć ich elementy.
  • Traktując ciągi jako funkcje można określić odejmowanie ciągów.
  • Traktując wielomiany (właściwie funkcje wielomianowe) jako funkcje rzeczywiste R R {\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} } otrzymujemy analogiczną definicję odejmowania, używaną w analizie matematycznej.
  • Traktując wielomiany jako ciągi współczynników (np. zapisując 3 x 2 + x + 5 {\displaystyle 3x^{2}+x+5} jako ( 5 , 1 , 3 , 0 , 0 , ) {\displaystyle (5,1,3,0,0,\dots )} ) otrzymuje się definicję różnicy wielomianów używaną w algebrze abstrakcyjnej; aby odjąć dwa wielomiany należy odjąć ich współczynniki. Definicję tę rozszerza się w oczywisty sposób na pierścień szeregów formalnych.

Odejmowanie modulo | edytuj kod

Działanie odejmowania można określić w pierścieniu Zn.

Odejmowanie modulo polega na obliczaniu reszty z dzielenia różnicy liczb przez n . {\displaystyle n.} Przykład: w algebrze Z 5 {\displaystyle Z_{5}} zachodzi:

0 1 4   ( mod 5 ) , {\displaystyle 0-1\equiv 4\ {\pmod {5}},} 4 1 3   ( mod 5 ) , {\displaystyle 4-1\equiv 3\ {\pmod {5}},} 4 4 0   ( mod 5 ) . {\displaystyle 4-4\equiv 0\ {\pmod {5}}.}

Odejmowanie wektorów | edytuj kod

 Osobny artykuł: Różnica wektorów.

Odejmowanie wektorów polega na odejmowaniu ich współrzędnych. Można też sprowadzić odejmowanie wektora do dodawania wektora o przeciwnym zwrocie. Wówczas takie dwa wektory można dodawać algebraicznie lub geometrycznie (używając reguły trójkąta lub reguły równoległoboku)

Gdy a {\displaystyle a} jest punktem oraz b {\displaystyle b} jest wektorem to różnicę a b {\displaystyle a-b} należy rozumieć jako translację punktu a {\displaystyle a} o wektor b . {\displaystyle -b.}

Odejmowanie jako działanie w strukturze algebraicznej | edytuj kod

Odejmowanie elementów a {\displaystyle a} i b {\displaystyle b} jest określane jako działanie odwrotne do dodawania:

a b = c a = b + c . {\displaystyle a-b=c\Leftrightarrow a=b+c.}

Nie zawsze istnieje element c {\displaystyle c} o takich właściwościach. Na przykład w zbiorze liczb naturalnych, tworzących z dodawaniem tzw. półgrupę, nie da się odjąć większej liczby od mniejszej. W strukturach algebraicznych zwanych grupami jest to już zawsze możliwe (jeśli to grupa addytywna); tam zawsze a b = a + ( b ) , {\displaystyle a-b=a+(-b),} gdzie b {\displaystyle -b} jest elementem przeciwnym do b . {\displaystyle b.} Czasem w różnych abstrakcyjnych strukturach, dla odróżnienia od zwykłego odejmowania liczb, stosuje się inny podobny znak, np. . {\displaystyle \ominus .}

Generalnie w strukturach zwanych pierścieniami odejmowanie nie jest przemienne, łączne, jest jednak rozdzielne względem mnożenia (w przypadku przestrzeni liniowej jest to rozdzielność względem mnożenia wektora przez skalar).

Równości i kongruencje można odejmować stronami:

  • jeżeli a = b {\displaystyle a=b} i c = d {\displaystyle c=d} to a c = b d , {\displaystyle a-c=b-d,}
  • jeżeli a b ( mod n ) {\displaystyle a\equiv b{\pmod {n}}} i c d ( mod n ) {\displaystyle c\equiv d{\pmod {n}}} to a c b d ( mod n ) . {\displaystyle a-c\equiv b-d{\pmod {n}}.}

Zobacz też | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Odejmowanie" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy